[논문 리뷰] A strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky's 2-category {\bf 2Vect}

Josep Elgueta|arXiv (Cornell University)|2004. 06. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카프란옵과 보예보츠키의 2-category 2Vect의 엄밀하고 완전히 좌표화된 버전인 엄격한 전체적으로 좌표화된 2-category ${\bf 2SVect}_{cc}$를 구성한다. 이는 오직 개체 수준에서 스켈레타화하고 1-형식 및 2-형식의 병합에서 결합법칙을 복원하기 위한 게이지 변환을 도입하여 엄격성을 달성한다. 수직 및 수평 병합에 대한 명시적 공식을 텐서곱과 순열 행렬을 사용하여 제공한다.

ABSTRACT

We give a concrete description of a strict totally coordinatized version of Kapranov and Voevodsky's 2-category of finite dimensional 2-vector spaces. In particular, we give explicit formulas for composition of 1-morphisms and the two compositions between 2-morphisms

연구 동기 및 목표

• 카프란옵과 보예보츠키의 ${\bf 2Vect}_{cc}$는 2-형식의 수평 병합이 비결합법칙을 따르므로 엄격한 2-category가 아니라는 문제를 해결하기 위해.
• 완전히 엄격한 2-category 버전의 2Vect를 구성하여 전체 좌표화를 유지하고 명시적 계산에 적합하게 하기 위해.
• 범주적 선형대수학과 고차원 대수적 구조를 위한 구체적이고 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.
• 고차 표현 이론, 위상적 양자장 이론, 4-다양체의 불변량 등에의 적용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 객체가 자연수인 새로운 2-category ${\bf 2SVect}_{cc}$를 도입하며, 1-형식은 랭크 행렬 ${{\bf R}}$와 게이지 변환 $s$의 쌍 $({\bf R}, s)$로 구성되며, $s$는 각 항목에 행렬을 할당한다.
• 2-형식의 수직 병합을 성분별 행렬 곱셈으로 정의하며, 빈 행렬과 영 행렬을 일관되게 다룬다.
• 2-형식의 수평 병합을 텐서곱과 순열 행렬 ${{\bf P}}(\widetilde{{\bf R}}_k, {{\bf R}}, {\bf a})$를 사용하여 정의하여 엄격한 결합법칙을 확보한다.
• 1-형식 병합에 대해 공식 $(\widetilde{{\bf R}},\widetilde{s}) \circ ({\bf R},s) = (\widetilde{{\bf R}}{\bf R}, \widetilde{s} \ast s)$를 사용하며, $\widetilde{s} \ast s$는 텐서곱과 역행렬을 포함한다.
• 순열 행렬의 정규화 조건을 도입하여 병합 공식의 일관성을 유지한다.
• 항등 1-형식은 $(Id_n, 1)$이며, 항등 2-형식은 비어있지 않은 항목에 항등행렬이 있는 행렬이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카프란옵과 보예보츠키의 ${\bf 2Vect}_{cc}$와 달리, 1-형식 및 2-형식 병합에서 모두 엄격한 결합법칙을 가지는 완전히 좌표화된 2-category를 구성할 수 있는가?
• RQ2 좌표화를 잃지 않으면서도 게이지 변환을 체계적으로 도입하여 2-형식 병합의 엄격한 결합법칙을 복원할 수 있는가?
• RQ3 이러한 엄격한 2-category에서 2-형식의 수평 및 수직 병합을 지배하는 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ4 이 엄격한 프레임워크에서 가역성과 2-동형 조건은 어떻게 나타나는가?
• RQ5 이 구성이 범주적 선형대수학과 2-표현에서의 모나이드 구조의 기초로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 2-category ${\bf 2SVect}_{cc}$는 1-형식과 2-형식 병합에서 모두 엄격한 결합법칙을 가지며, ${\bf 2Vect}_{cc}$의 비엄격성 문제를 해결한다.
• 2-형식의 수평 병합은 $(\widetilde{{\sf T}} \circ {\sf T})_{kj} = \widetilde{s}^\prime_k({\bf R}^\prime({\bf e}_j)) \left( \bigoplus_{i=1}^m \widetilde{{\sf T}}_{ki} \otimes {\sf T}_{ij} \right) \widetilde{s}_k({\bf R}({\bf e}_j))^{-1}$로 명시적으로 주어지며, 일관성을 확보하기 위해 순열 행렬을 포함한다.
• 2-형식의 수직 병합은 성분별 행렬 곱셈으로 주어진다: $({\sf T}^\prime \cdot {\sf T})_{ij} = {\sf T}^\prime_{ij} {\sf T}_{ij}$이며, 빈 행렬과 영 행렬을 적절히 처리한다.
• 항등 1-형식은 $({\rm Id}_n, 1)$이며, 항등 2-형식은 $R_{ij} \neq 0$이면 $({\bf 1}_{({\bf R},s)})_{ij} = {\rm Id}_{R_{ij}}$이고, 그렇지 않으면 빈 행렬이다.
• 1-형식 $({\bf R}, s)$는 $n = m$ 이고 ${{\bf R}}$가 순열 행렬이어야만 가역적이다.
• 두 1-형식이 2-동형일 조건은 랭크 행렬 ${{\bf R}}$가 동일할 때이며, 2-형식이 2-동형일 조건은 모든 비어있지 않은 항목이 가역 행렬이어야 한다.