[논문 리뷰] A strong and weak approximation scheme for stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion

Ernest Jum, Kei Kobayashi|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 역하향자(subordinator)에 의해 제어되는 시간에 따라 변하는 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)을 위한 새로운 이산화 방법을 제안한다. 오일러–마루야마 방법과 정교한 역하향자의 근사치를 조합함으로써, 버크홀더 부등식을 통해 유도된 더 날카운 오차 추정치를 사용하여 강한 수렴 차수 $1/2$와 약한 수렴 차수 $1$을 확립한다. 이는 기존 방법보다 향상된 것이다.

ABSTRACT

This paper establishes a discretization scheme for a large class of stochastic differential equations driven by a time-changed Brownian motion with drift, where the time change is given by a general inverse subordinator. The scheme involves two types of errors: one generated by application of the Euler-Maruyama scheme and the other ascribed to simulation of the inverse subordinator. With the two errors carefully examined, the orders of strong and weak convergence are derived. Numerical examples are attached to support the convergence results.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 시간에 따라 변하는 계수를 가진 시간에 따라 변하는 브라운 운동에 의해 구동되는 SDEs를 위한 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 오일러–마루야마 이산화와 역하향자 시뮬레이션의 이중 과제를 통합된 프레임워크 내에서 다루기 위해.
• 시간에 따라 변하는 SDEs의 맥락에서 강한 및 약한 근사의 엄밀한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 버크홀더 부등식을 활용하여 오일러–마루야마 방법의 기존 오차 추정치를 향상시켜 더 날카운 수렴 분석이 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 시간에 따라 변하는 도메인에서 SDE에 오일러–마루야마 방법을 적용하며, 역하향자의 점프 시간에 맞춰 이산 시간 단위를 사용한다.
• 기본 하향자의 표본 경로에 기반한 이산화 전략을 사용하여 역하향자를 근사함으로써 시간 변화의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 이전 연구에서 유도된 이중성 원리를 활용하여 시간에 따라 변하는 SDE를 원래 시간 척도의 표준 SDE와 연결한다.
• 오차 분석은 오일러–마루야마 방법의 기여와 역하향자 근사의 기여를 분리하며, 후자는 새로운 방식의 버크홀더 부등식 적용을 통해 분석된다.
• 이 방법은 이산화된 시간 변화 $E_\delta$ 기반의 조각별 상수 근사치 $Y_\delta(t)$를 구성하여 경로 일致성을 보장한다.
• 수치적 검증은 지수적으로 온화된 안정 분포를 가진 시간에 따라 변하는 브라운 운동 SDE를 사용하여 수행되었으며, $X \circ E_\delta$를 통한 거의 정확한 해와의 비교를 통해 수행되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 역하향자를 갖는 시간에 따라 변하는 브라운 운동에 의해 구동되는 SDEs에 적용된 수치적 방법의 강한 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ2 동일한 조건 하에서 해당 방법의 약한 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ3 표준 방법을 초월한 기법, 예를 들어 버크홀더 부등식을 사용하여 오일러–마루야마 방법에 대해 더 날카운 오차 추정치를 유도할 수 있는가?
• RQ4 오일러–마루야마 이산화와 역하향자 근사라는 두 가지 서로 다른 오차 기여 요소가 전체 수렴 속도에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 수치 결과는 실질적인 시뮬레이션에서 이론적 수렴 차수를 어느 정도 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법의 강한 수렴 차수는 $1/2$이며, 이는 정리 11에서 확립된 이론적 경계와 일치한다.
• 약한 수렴 차수는 $1$이며, 이는 정리 14에서 확인되었고, 최소 제곱 기울기가 $1.1882$로 $1.0$에 가까운 수치 실험으로 뒷받침된다.
• 버크홀더 부등식을 사용하여 오일러–마루야마 방법에 대해 새로운 오차 추정치를 도출하였으며, 이는 고전적 방법보다 더 날카운 경계를 제공하고 강한 수렴을 증명하는 데 필수적이다.
• 수치 결과에 따르면, 강한 오차 추정치 $\mathrm{STERR}(\delta)$ 는 $\log_2$ 척도에서 기울기가 $0.5338$을 보이며, 이는 이론적 $\delta^{1/2}$ 속도를 약간 초월하는 것으로, 이론과의 일치를 시사한다.
• 약한 오차 추정치 $\mathrm{WKERR}(\delta)$ 는 기울기가 $1.1882$로, 이론적 $\delta^1$ 속도에 매우 가까운 것으로 나타나, 표본 수가 증가함에 따라 기대되는 수렴 속도에 수렴하고 있음을 시사한다.
• 이 방법은 시간에 따라 변하는 계수와 일반적인 역하향자를 갖는 SDEs를 효과적으로 처리하며, 이는 이전 연구에서 상수 계수와 특정 하향자에 국한된 것을 초월한다.