[논문 리뷰] A strong hyperbolicity property of locally symmetric varieties

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유산적 국소 대칭 다양체의 모든 부분다양체—특히 유산적 격자에 의한 유계 대칭 도메인의 商공간—이 격자가 충분히 작을 경우 일반 유형임을 확립한다. 호지 이론, 로그 콪팩티피케이션, 비에흐베그의 큰 벡터 번들의 개념을 활용하여, 저자가 부분다양체가 최대 코탄제이언트 차원을 가짐을 증명함으로써, 이 설정에서 그린-그리피스-랑 추측이 예측한 강력한 초구형 성질을 확인한다. 특히 시겔 모듈라 다양체의 경우 날카로운 경계 조건을 확보한다: $\mathcal{A}_g(n)$의 모든 부분다양체는 $n > 12g$일 때 일반 유형이다.

ABSTRACT

We show that all subvarieties of a quotient of a bounded symmetric domain by a sufficiently small arithmetic discrete group of automorphisms are of general type. This result corresponds through the Green-Griffiths-Lang's conjecture to a well-known result of Nadel.

연구 동기 및 목표

• 유산적 국소 대칭 다양체의 맥락에서 그린-그리피스-랑 추측을 다루며, 그 부분다양체가 일반 유형임을 보임.
• 콤팩티피케이션된 국소 대칭 다양체의 예외적 영역에 대한 네델의 결과를, 모든 부분다양체의 일반 유형 성질에 대한 더 강력한 진술로 확장함.
• 모든 $\mathcal{A}_g(n)$의 부분다양체가 일반 유형이 되는 데 필요한 수준 구조 $n$에 대한 날카로운 경계를 확립함, 특히 $n > 12g$일 경우.
• 로그 콪팩티피케이션과 비에흐베그-큰 부분층을 이용한 일반적 프레임워크를 제공하여 코탄제이언트 차원의 최대성 증명함.
• 시무라 다양체와 아벨 다양체 및 수준 구조를 가진 곡선의 모듈리 공간 간의 연결을 토렐리 정리를 통해 제시함.

제안 방법

• 유산적 국소 대칭 다양체의 로그 콪팩티피케이션을 활용하여 $\mathbb{C}$에서의 헬로모르픽 사상의 행동을 분석함으로써, 네델의 결과를 연장함.
• 비에흐베그의 큰 벡터 번들 이론을 적용하여, $S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E)$ 가 비에흐베그-큰 부분층을 포함함을 보임으로써 코탄제이언트 차원의 최대성을 유도함.
• 기저 변경과 유한 커버를 활용하여 기저 다양체의 성질을 그 유한 에탈레 커버로 옮김. 특히 $\mathcal{A}_g(n)$의 수준 구조 맥락에서 적용함.
• 자기동역학적 선다발과 호지 다발의 표준 연장 기법을 활용하여 $\mathcal{A}_g(n)$의 기하학을 로그 캐논리컬 다발 $\omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D)$ 와 연결함.
• Weissauer의 $\mathcal{L}^{\otimes l}(-mD)$ 의 절단을 구성하는 방법을 적용하여, $l > 12m$ 일 때 선다발의 크기 성질을 입증함으로써 핵심 경계 조건 $n > 12g$ 를 도출함.
• 보렐의 대수화 정리를 활용하여 분석적 다양체에서의 결과를 대수적 다양체로 확장함으로써, 대칭 공간에 일반적으로 맵핑되는 임의의 대수적 다양체에서 일반 유형 성질이 유지됨을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 대칭 도메인 $\mathcal{D}$ 에서 유산적 격자 $\Gamma'$ 에 의한 유한지수 부분군에 의한 商공간 $\Gamma'\backslash\mathcal{D}$ 의 모든 부분다양체는 일반 유형인가?
• RQ2 특히 아벨 다양체의 수준 구조를 가진 모듈리 공간에서, 유산적 국소 대칭 다양체에 대해 그린-그리피스-랑 추측이 성립하는가?
• RQ3 $\mathcal{A}_g(n)$ 의 모든 부분다양체가 일반 유형이 되는 데 필요한 수준 $n$ 의 최적 경계는 무엇인가?
• RQ4 유산적 국소 대칭 다양체의 부분다양체에서 코탄제이언트 차원의 최대성을 호지 이론적 방법으로 확립할 수 있는가?
• RQ5 콤팩티피케이션된 국소 대칭 다양체의 예외적 영역은 경계에 완전히 포함되는가? 그리고 이를 통해 모든 부분다양체가 일반 유형임을 유추할 수 있는가?

주요 결과

• 유계 대칭 도메인 $\mathcal{D}$ 에서 유한지수 유산적 격자 $\Gamma'$ 에 의한 商공간 $\Gamma'\backslash\mathcal{D}$ 의 모든 부분다양체는 일반 유형이다.
• 수준-$n$ 구조를 가진 주로 편향된 아벨 다양체의 모듈리 공간인 $\mathcal{A}_g(n)$ 에서, 모든 부분다양체는 $n > 12g$ 일 때 일반 유형이다.
• canonical 다발 $\omega_{\overline{\mathcal{A}_g}}(D)$ 는 자동적 선다발 $\mathcal{L}$ 에 대해 $\mathcal{L}^{\otimes(g+1)}$ 와 동형이며, 이는 크기 성질의 응용을 가능하게 한다.
• 적절한 $l$ 에 대해 벡터 번들 $S^{l \cdot r_{\mathcal{D}}} \Omega^1_{\overline{Y}}(\log E)$ 는 비에흐베그-큰 부분층을 포함하며, 이는 코탄제이언트 차원의 최대성을 암시한다.
• $\mathcal{A}_g(n)$ 의 부분다양체는 $n > 12g$ 일 때 최대 코탄제이언트 차원을 가짐을 보이며, 이는 일반 유형임을 암시한다.
• 토렐리 정리를 통해 $\mathcal{A}_g(n)$ 에 대한 결과는 곡선의 수준 구조를 가진 모듈리 스택에 대해 해당하는 진술을 유도하며, 동일한 경계 조건 하에서 그 부분다양체가 일반 유형임을 확인한다.