[논문 리뷰] A Strong Stability Preserving Analysis for Multistage Two-Derivative Time-Stepping Schemes Based on Taylor Series Conditions

Zachary J. Grant, Sigal Gottlieb외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 27.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 안정성 보존 타일러 급수(Strong Stability Preserving Taylor Series, SSP-TS) 방법을 소개한다. 이는 정방향 오일러 및 타일러 급수 조건 하에서 공간 이산화의 강한 안정성 성질을 보존하는 명시적 다단계 이계미분 시간적분 방법이다. 저자들은 이러한 방법의 최대 순서가 6임을 증명하고, 이를 구현하기 위한 최적화 절차를 개발하며, 초구형 편미분방정식에 대한 효율성과 날카로운 시간스텝 제약 조건을 입증한다.

ABSTRACT

High order strong stability preserving (SSP) time discretizations are often needed to ensure the nonlinear (and sometimes non-inner-product) strong stability properties of spatial discretizations specially designed for the solution of hyperbolic PDEs. Multiderivative time-stepping methods have recently been increasingly used for evolving hyperbolic PDEs, and the strong stability properties of these methods are of interest. In our prior work we explored time discretizations that preserve the strong stability properties of spatial discretizations coupled with forward Euler and a second derivative formulation. However, many spatial discretizations do not satisfy strong stability properties when coupled with this second derivative formulation, but rather with a more natural Taylor series formulation. In this work we demonstrate sufficient conditions for an explicit two-derivative multistage method to preserve the strong stability properties of spatial discretizations in a forward Euler and Taylor series formulation. We call these strong stability preserving Taylor series (SSP-TS) methods. We also prove that the maximal order of SSP-TS methods is p = 6, and define an optimization procedure that allows us to find such SSP methods. Several types of these methods are presented and their efficiency compared. Finally, these methods are tested on several PDEs to demonstrate the benefit of SSP-TS methods, the need for the SSP property, and the sharpness of the SSP time-step in many cases.

연구 동기 및 목표

• 불연속성을 갖는 초구형 편미분방정식에 대해 설계된 공간 이산화의 강한 안정성 성질을 보존하는 시간적분 방법을 개발한다.
• 이전의 SSP 방법이 이계미분 형태에 의존하는 한계를 해결하기 위해 더 유연한 타일러 급수 기반의 안정성 조건을 도입한다.
• 정방향 오일러 및 타일러 급수 기반 조건 하에서 강한 안정성 보존을 위한 충분조건을 수립한다.
• 이러한 SSP-TS 방법의 이론적 최대 순서가 6임을 증명한다.
• 우수한 안정성 특성을 갖는 고순서 SSP-TS 방법을 구축하기 위한 최적화 절차를 설계하고, 수치적으로 그 효율성을 평가한다.

제안 방법

• 정방향 오일러 및 타일러 급수 조건에 기반한 새로운 명시적 다단계 이계미분 시간적분 방법의 클래스인 SSP-TS 방법을 제안한다.
• 기본 조건 정의: 정방향 오일러 조건(\|u^n + \Delta t F(u^n)\| \leq \|u^n\|)과 이계 타일러 급수 조건(\|u^n + \Delta t F(u^n) + \frac{1}{2}\Delta t^2 \tilde{F}(u^n)\| \leq \|u^n\|)에 의한 강한 안정성.
• 다단계 이계미분 방법의 계수에 대해 두 기본 조건 하에서 강한 안정성 보존을 보장하는 충분조건을 유도한다.
• 유도된 조건 하에서 SSP 계수를 최대화하는 최적화 문제를 설정하여, 순서, 단계 수, 안정성 영역 간의 균형을 확보한다.
• 순서 2에서 6까지의 특정 SSP-TS 방법을 구성하며, 8단계와 8단계의 도함수 계산을 포함한 6차 방법을 포함한다.
• 다섯 번째 순서 WENO 공간 이산화를 사용하여 초구형 보존법칙에 대해 방법을 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정방향 오일러 및 타일러 급수 조건 하에서 강한 안정성을 보존하는 명시적 이계미분 다단계 방법에 대한 충분조건는 무엇인가?
• RQ2 이러한 SSP-TS 방법의 최대 순서는 얼마인가?
• RQ3 우수한 안정성 특성을 갖는 고순서 SSP-TS 방법을 구축하기 위한 최적화 절차는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 초구형 편미분방정식에서 기존의 SSP 방법과 비교해 SSP-TS 방법의 효율성과 안정성은 어떠한가?
• RQ5 이러한 방법의 SSP 시간스텝 제약은 실질적으로 얼마나 날카로운가?

주요 결과

• SSP-TS 방법의 최대 순서가 $p = 6$임을 증명하여, 이 클래스의 이론적 상한을 확립한다.
• 8단계와 8단계의 도함수 계산을 포함한 6차 SSP-TS 방법을 구성하여, 새로운 프레임워크 하에서 고순서 구성의 가능성을 입증한다.
• 6차 방법의 SSP 계수를 $\Delta t_{\text{SSP}} = 0.575 \Delta t_{\text{FE}}$로 최적화하여, 저순서 방법에 비해 뚜렷한 시간스텝 제약을 보였다.
• 초구형 편미분방정식(예: 오일러 방정식 및 스칼라 보존법칙)에 대한 수치 실험을 통해 SSP-TS 방법이 예측된 시간스텝 제약 조건 하에서도 강한 안정성 성질을 유지함을 확인하였다.
• 실제로 많은 경우에서 SSP 시간스텝 제약이 날카로운 것으로 나타나, 이를 위반할 경우 불안정성이 발생함을 확인하여 이론적 분석을 검증하였다.
• 제안된 SSP-TS 방법은 타일러 급수 기반 안정성 조건을 만족하는 공간 이산화에 대해 표준 SSP 룬게-쿠타 방법보다 순서와 안정성 면에서 뛰어나다.