[논문 리뷰] A structure and representations of diffeomorphism groups of non-Archimedean manifolds

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|2000. 04. 19.

advanced mathematical theories참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 체 $\mathbf{F}$ 에 대한 국소 $\mathbf{F}$-볼록 공간 위의 비아르키메데스 다양체의 미분동형군의 구조와 유니터리 표현을 조사한다. 이들 군이 단순하고 완전하며 바나흐-라이 계열이 아니라는 것을 증명하지만, 항등원 근처의 각 원소가 일차 파라미터 부분군에 속하므로, 밀도가 있는 접공간을 가진 컴팩트 부분군을 통해 유도된 표현 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Diffeomorphism groups $G$ of manifolds $M$ on locally $\bf F$-convex spaces over non-Archimedean fields $\bf F$ are investigated. It is shown that their structure has many differences with the diffeomorphism groups of real and complex manifolds. It is proved that $G$ is not a Banach-Lie group, but it has a neighbourhood $W$ of the unit element $e$ such that each element $g$ in $W$ belongs to at least one corresponding one-parameter subgroup. It is proved that $G$ is simple and perfect. Its compact subgroups $G_c$ are studied such that a dimension over $\bf F$ of its tangent space $dim_{\bf F}T_eG_c$ in $e$ may be infinite. This is used for decompositions of continuous representations into irreducible and investigations of induced representations.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 체 위의 비아르키메데스 다각체 위의 미분동형군의 대수적 및 위상적 구조를 조사하는 것.
• 이들 군이 고전적 미분동형군과 근본적으로 다름에도 불구하고 단순하고 완전하다는 것을 확립하는 것.
• 이들 군 내부의 일차 파라미터 부분군과 컴팩트 부분군의 존재성 및 성질을 분석하는 것.
• 밀도가 있는 접공간 스레드를 가진 컴팩트 부분군의 가족을 통해 유도된 유니터리 표현 이론을 개발하는 것.
• 국소 컴팩트가 아니며 비아르키메데스인 미분동형군에 대해 표현 이론을 확장하여, 비아르키메데스 양자역학과 관련된 내용을 다루는 것.

제안 방법

• 논문은 비아르키메데스 체 위의 다각체에서의 $C(t)$-연속 및 $C_0(t)$-연속 미분동형을 사용하며, $1 \leq t \leq \infty$ 및 해석적 경우인 $t=an$ 을 고려한다.
• 항등원의 열린 닫힌 근방 $W$ 가 존재하여, 모든 $g \in W$ 가 일차 파라미터 부분군 $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$ 에 속한다는 것을 증명한다.
• 접공간이 전체 군의 접공간에서 밀도를 가지는 컴팩트 부분군 $G^n_{u,\mathbf{K}}$ 가 구성된다.
• 논문은 측도에 대한 측도 불변성과 함께 유도된 표현 이론을 활용하며, 힐버트 공간의 제곱 integrable 섹션에 대한 표현의 임bedding을 구성한다.
• 특히 이중 코셋 공간 $N \setminus G / K$ 와 관련 측도 $\nu$ 를 분석함으로써 부분군에서의 유도된 표현 이론을 사용한다.
• 내부 텐서곱 표현의 유니터리 동치는 이중 코셋에 대한 직접 적분으로 분해하는 유니터리 연산자 $A$ 를 통해 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아르키메데스 다각체 위의 미분동형군의 구조적 성질은 실수 또는 복소수 다각체 위의 것들과 어떻게 다를까?
• RQ2 군이 바나흐-라이 계열이 아니라는 점에도 불구하고, 일차 파라미터 부분군이 국소적으로 조밀한가?
• RQ3 무한차원 접공간을 가진 컴팩트 부분군은 비아르키메데스 미분동형군의 표현 이론에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 국소 컴팩트성이 없을 경우에 어떻게 유도된 표현을 구성하고 분해할 수 있는가?
• RQ5 클래식한 표현론적 도구, 예를 들어 유도된 표현과 텐서곱은 비아르키메데스 미분동형군에 얼마나 적응할 수 있는가?

주요 결과

• 비아르키메데스 다각체 $M$ 의 미분동형군 $\mathrm{Diff}(t,M)$ 은 바나흐-라이 계열이 아니지만 단순하고 완전하다.
• 항등원의 열린 닫힌 근방 $W$ 가 존재하여, 모든 원소 $g \in W$ 가 일차 파라미터 부분군 $\langle g^z : z \in \mathbf{F} \rangle$ 에 속한다.
• $\mathrm{Diff}(t,M)$ 는 미분방정식의 유일한 해가 없고 고전적 국소 연결성이 실패하기 때문에 바나흐-라이 계열이 아니다.
• 접공간의 $\mathbf{K}$-선형 스레드가 전체 군의 접공간에서 밀도를 가지는 컴팩트 부분군의 가정 $\{G^n_{u,\mathbf{K}}\}$ 이 존재한다.
• 유도된 표현 $T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu}$ 는 이중 코셋 공간 $\sf D = N \setminus G / K$ 에서의 직접 적분 $\int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$ 와 유니터리 동치이다.
• 유니터리 연산자 $A$ 가 존재하여 $A^{-1} T^{V,\mu} \otimes T^{W,\mu} A = \int_{\sf D} T(\xi) \, d\nu(\xi)$ 를 만족하며, 각각의 $T(\xi)$ 는 부분군 $g^{-1}K'g \cap \gamma^{-1}N'\gamma$ 에서 유도된 표현이다.