[논문 리뷰] A Study of Distributionally Robust Multistage Stochastic Optimization

Jianqiu Huang, Kezhuo Zhou외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 26.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 49인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 역사적 데이터를 사용하여 L∞-노름을 활용해 구성된 불확실성 집합을 기반으로, worst-case 평균 비용을 최소화하는 데이터 기반의 분포로 보존 다단계 확률적 최적화 프레임워크를 제안한다. 중첩된 최소-최대 구조를 기대값과 조건부가치위험도(CVaR)의 볼록 조합으로 재구성함으로써 모델은 해석 가능해지고, 맞춤형 SDDP 알고리즘을 통해 해결 가능해지며, 데이터 크기가 증가함에 따라 위험 중립적 MSP에 이론적으로 수렴한다.

ABSTRACT

In this paper, we focus on a data-driven risk-averse multistage stochastic programming (RMSP) model considering distributional robustness. We optimize the RMSP over the worst-case distribution within an ambiguity set of probability distributions constructed directly from historical data samples. The proposed RMSP is intractable due to the multistage nested minimax structure in its objective function, so we reformulate it into a deterministic equivalent that contains a series of convex combination of expectation and conditional value at risk (CVaR), which can be solved by a customized stochastic dual dynamic programming (SDDP) algorithm in this paper. As the size of collected data samples increases to infinity, we show the consistency of the RMSP with distributional robustness to the traditional multistage stochastic programming. In addition, to test the computational performance of our proposed model and algorithm, we conduct numerical experiments for a risk-averse hydrothermal scheduling problem, the results of which demonstrate the effectiveness of our RMSP framework.

연구 동기 및 목표

• 기존의 다단계 확률적 최적화(MSP)가 알려진 확률 분포에 의존하는 한계를 해결함: 실생활에서는 이러한 분포가 종종 알려져 있지 않거나 모호함.
• 역사적 데이터 샘플을 활용해 분포의 모호함을 고려하는 위험 회피형 다단계 확률적 최적화(RMSP) 모델을 개발함.
• 분포로 보존 RMSP의 해석이 불가능한 중첩된 최소-최대 구조를 기대값과 CVaR의 볼록 조합으로 대체함으로써 해석 가능한 형태로 재구성함.
• 역사적 데이터 샘플 수가 증가함에 따라 제안된 RMSP가 고전적 위험 중립적 MSP로 수렴하는 이론적 수렴성을 확립함.
• 다양한 진짜 분포 하에서 수치 실험을 통해 계산적 효율성을 입증함: 수력열력 조정 문제를 대상으로 함.

제안 방법

• 역사적 데이터 샘플을 사용해 L∞-노름을 활용해 확률 분포의 불확실성 집합을 구성함.
• 원래의 분포로 보존 RMSP 목표함수—불확실성 집합 내 worst-case 분포에 대한 최소-최대—를 기대비용과 CVaR의 볼록 조합을 포함하는 결정론적 등가 형태로 재구성함.
• 재구성된 문제를 해결하기 위해 맞춤형 확률적 이중동적계획법(SDDP) 알고리즘을 적용함. 이는 볼록 조합의 구조를 유용하게 활용함.
• 재구성된 프레임워크 하에서 이론적 수렴 성질을 증명함으로써 SDDP 알고리즘의 수렴을 보장함.
• SDDP 반복 과정 동안 최적값의 상한과 하한을 근사하기 위해 시나리오 기반 샘플링과 반복적 경계를 사용함.
• 다양한 진짜 분포(정규분포, 로그정규분포, 지수분포, 베타분포) 하에서 수력열력 조정 문제에 대한 수치 실험을 통해 재구성 및 알고리즘의 타당성을 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역사적 데이터만을 사용하여 확률 분포의 모호함을 다룰 수 있는 분포로 보존 다단계 확률적 최적화 모델을 어떻게 제안할 수 있는가?
• RQ2 분포로 보존 RMSP의 중첩된 최소-최대 구조는 위험성을 포기하지 않고도 해석 가능한 형태로 재구성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 RMSP 프레임워크는 역사적 데이터 샘플 수가 증가함에 따라 고전적 위험 중립적 MSP로 수렴하는가?
• RQ4 데이터 크기가 증가함에 따라 솔루션 갭과 반복 횟수 측면에서 맞춤형 SDDP 알고리즘의 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 데이터 크기가 증가함에 따라 위험 회피 솔루션이 완벽한 정보 하의 위험 중립 솔루션에 얼마나 가까워지는가?

주요 결과

• 제안된 RMSP 모델은 역사적 데이터 샘플 수가 증가함에 따라 위험 중립적 MSP로 수렴하며, 지수분포의 경우 N=10일 때 솔루션 갭이 1.78에서 N=9000일 때 0.08로 감소함.
• SDDP 알고리즘은 빠르게 수렴하며, 9,000개의 데이터 샘플을 사용할 경우 모든 테스트 분포에서 약 75~90회 반복 내에 수렴함. 로그비용도 35단계 이후 안정적인 수렴을 보임.
• 더 많은 데이터를 사용할수록 SDDP 반복 수가 크게 감소함: N=10일 때 300단계에서 N=5000일 때 85단계로 감소하여 불확실성 집합이 작아짐에 따라 수렴 속도 향상됨.
• 지수분포의 경우 데이터 크기가 증가함에 따라 위험 회피(RA)와 위험 중립(PI) 솔루션 간의 솔루션 갭이 단조롭게 감소함: N=10일 때 1.78에서 N=9000일 때 0.08로 감소하여 이론적 수렴을 확인함.
• 기대값과 CVaR의 볼록 조합을 사용한 재구성은 중첩된 최소-최대 구조를 성공적으로 제거하여 SDDP를 통해 효율적으로 해결하면서도 분포로 보존 성질을 유지함.
• 수력열력 조정 문제에 대한 수치 실험 결과, 다양한 진짜 분포(로그정규분포, 정규분포, 지수분포, 베타분포)에서 일관된 성능을 보이며, 데이터 크기가 증가함에 따라 위험 회피 솔루션이 위험 중립 기준 솔루션을 밀도 있게 따라감.