[논문 리뷰] A Study of Fatou Set, Julia set and Escaping Set in Nearly Abelian Transcendental Semigroup

Bishnu Hari Subedi, Ajaya Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 반군의 일반화로서 거의 아벨 초월 반군을 도입하고, 이러한 반군에 대해 파투 집합, 줄리 집합, 도망 집합이 완전히 불변임을 증명한다. 주요 기여는 유한형 또는 유계형 거의 아벨 반군에 대해 난류 영역이 존재하지 않는 정리와 함께, 주기적인 파투 성분을 흡인, 초흡인, 평행, 시겔, 베커 영역으로 완전한 분류를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We mainly generalize the notion of abelian transcendental semigroup to nearly abelian transcendental semigroup. We prove that Fatou set, Julia set and escaping set of nearly abelian transcendental semigroup are completely invariant. We investigate no wandering domain theorem in such a transcendental semigroup. We also obtain results on a complete generalization of the classification of periodic Fatou components.

연구 동기 및 목표

• 아벨 초월 반군을 거의 아벨 반군으로 일반화하여 핵심 역학적 불변량을 유지한다.
• 거의 아벨 반군에서 파투 집합, 줄리 집합, 도망 집합의 완전한 불변성을 확립한다.
• 유한형 또는 유계형 거의 아벨 초월 반군에서 난류 영역이 존재하지 않음을 증명한다.
• 거의 아벨 반군의 주기적인 파투 성분을 표준 유형으로 분류한다: 흡인, 초흡인, 평행, 시겔, 또는 베커 영역.
• 고전적 결과인 특이 값과 성분의 연결성에 대한 일반화를 반군 설정으로 확장하며, 특히 유계형 반군에 대해 적용한다.

제안 방법

• 생성자가 유한 차수의 왜곡을 통해 교환 가능할 때의 반군으로 거의 아벨 초월 반군을 정의함으로써 아벨 반군을 일반화한다.
• 모든 거의 아벨 반군 $ S $ 에 대해 $ F(S) = F(f) $ 를 만족함을 보여, 개별 함수에서 반군으로 역학적 성질를 이전할 수 있음을 보장한다.
• 정규 가족과 반군 역학에 관한 기존 정리, 특히 에ремenko-류비치 및 스피에저 클래스의 결과를 활용하여 파투 집합과 줄리 집합을 분석한다.
• 포지티브 지수 부분반군의 개념을 활용하여 파투 성분의 전방 궤도를 연구하고 분류의 안정성을 확보한다.
• 특이 값(비판적 값 및 점근적 값)의 구조와 반복에 따른 행동을 이용하여, 유계 파투 성분이 점근적 값을 포함하지 않음을 증명한다.
• 기존의 개별 초월 함수에 대한 고전적 분류 정리(예: [13])를 $ F(S) = F(f) $ 를 통해 반군 설정으로 적응한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 초월 반군이 난류 영역이 없는 정리를 갖는가?
• RQ2 거의 아벨 반군에서 파투, 줄리, 도망 집합은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고전 역학에서의 주기적 파투 성분 분류가 거의 아벨 초월 반군으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 개별 생성자의 특이 값과 전체 반군의 파투 집합 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 유계형 반군에서 베커 영역이 존재하지 않는다는 사실이 거의 아벨 설정으로도 확장되는가?

주요 결과

• 거의 아벨 초월 반군의 파투 집합, 줄리 집합, 도망 집합은 반군의 임의의 원소 작용 하에 완전히 불변이다.
• 모든 유한형 또는 유계형 거의 아벨 초월 반군 $ S $ 에 대해 $ F(S) = F(f) $ 를 만족하며, 이는 반군이 어떤 단일 생성자와 동일한 역학적 구조를 상속함을 의미한다.
• 반군 $ S $ 는 난류 영역이 없으며, 이는 스피에저 또는 에ремenko-류비치 클래스의 개별 함수에서의 난류 영역이 없는 결과를 이전함으로써 증명된다.
• 파투 집합 $ F(S) $ 의 모든 성분은 단순 연결이다. 왜냐하면 $ F(S) = F(f) $ 이고, $ f $ 가 유계형일 경우 $ F(f) $ 의 모든 성분이 단순 연결이기 때문이다.
• 모든 안정된 파투 성분이 유계일 경우, $ F(S) $ 는 점근적 값을 포함하지 않으며, 이 성질은 유계형 클래스의 개별 생성자로부터 유도된다.
• 반군 $ S $ 의 주기적 파투 성분은 흡인, 초흡인, 평행, 시겔, 또는 베커 영역으로 분류되며, 유계형 반군에서는 베커 영역이 제외된다.