[논문 리뷰] A Study of U(N) Lattice Gauge Theory in 2-dimensions

Spenta R. Wadia|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 12.

Theoretical and Computational Physics인용 수 71

한 줄 요약

이 논문은 2차원에서 U(N) 격자 양성계를 일정한 전기장 속의 원 위에 놓인 1차원 쿠론 가스로 매핑하여 연구한다. 큰 N 근사에서는 특이 적분 방정식을 통해 해석 가능하며, 임계점 근처에서 유한-N과 무한-N 계산 간에 뛰어난 일치를 보인다. 그러나 N→∞ 근사에서 E=1에서 허상의 연속적인 상전이가 나타나며, 이는 중간 결합 영역에서 무한-N 근사의 병태성을 시사한다.

ABSTRACT

This is an edited version of an unpublished 1979 EFI (U. Chicago) preprint: "The U(N) lattice gauge theory in 2-dimensions can be considered as the statistical mechanics of a Coulomb gas on a circle in a constant electric field. The large N limit of this system is discussed and compared with exact answers for finite N. Near the fixed points of the renormalization group and especially in the critical region where one can define a continuum theory, computations in the thermodynamic limit $(N ightarrow \infty)$ are in remarkable agreement with those for finite and small N. However, in the intermediate coupling region the thermodynamic computation, unlike the one for finite N, shows a continuous phase transition. This transition seems to be a pathology of the infinite N limit and in this simple model has no bearing on the physical continuum limit."

연구 동기 및 목표

• 정확한 유한-N 결과와의 비교를 통해 큰 N 근사가 U(N) 격자 양성계에 미치는 영향과 그 한계를 명확히 하기.
• 열역학적 극한(N→∞)이 물리적 연속체 행동을 정확히 기술하는가를 평가하고, 특히 리노멀화 군 고정점 근처에서의 행동을 분석하기.
• 큰 N 근사에서 관측되는 상전이의 성격을 분석하고, 이를 유한-N 행동과 비교하여 물리적 의미가 있는지 평가하기.
• U(N) 양성계와 일정한 전기장이 작용하는 쿠론 가스 사이의 정확한 수학적 매핑을 수립하여, N→∞ 근사에서의 정확한 해석 가능성을 확보하기.
• 정성적 결과를 유한-N 및 무한-N 계산 결과와의 비교를 통해 1/N 전개의 타당성을 평가하기.

제안 방법

• 무작위 행렬 이론을 사용하여 U(N) 격자 양성계의 분할함수를 일정한 전기장 E=2β/N가 작용하는 원 위의 쿠론 가스로 매핑한다.
• 수정 베셀 함수 I_{i-j}(2β)를 포함하는 토플리츠 행렬식으로 분할함수를 표현함으로써, 정확한 유한-N 계산이 가능해진다.
• 특이 적분 방정식과 카우치 커널을 사용하여 큰 N 근사를 해결하고, 전하 밀도 분포를 E의 함수로 결정한다.
• 전하 밀도에 간극이 생기는 E=1에서의 상전이를 식별하여, N→∞ 근사에서 연속적인 상전이가 발생함을 나타낸다.
• 연속체 근사를 분석하고 물리적 관측량이 의미 있는 임계 영역을 정의하기 위해 리노멀화 군 접근법을 사용한다.
• 유한-N=2,3,4,5에서 β=0 및 β=∞ 근처(약한 및 강한 결합 영역)에서 분할함수의 타일러 전개를 수행하여 큰 N 결과와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 U(N) 격자 양성계의 큰 N 근사는 임계 영역 근처에서 정확한 유한-N 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ2 무한-N 근사는 물리적 연속체 근사를 정확히 기술하는가, 아니면 허상의 상전이와 같은 비물리적 특성을 유도하는가?
• RQ3 큰 N 근사에서 E=1에서 관측되는 상전이의 성격은 무엇이며, 이는 물리적 특성인지, N→∞ 근사의 산물인가?
• RQ4 쿠론 가스 매핑을 통해 큰 N 근사에서 U(N) 양성계의 분할함수를 정확히 해석할 수 있는가? 이는 1/N 전개에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 왜 무한-N 계산에서는 E=1에서 비해석적 행동을 보이고 유한-N 결과는 해석적일까? 이는 1/N 전개의 타당성에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 2차원 U(N) 격자 양성계의 큰 N 근사는 원 위의 쿠론 가스에서 전하 밀도에 대한 특이 적분 방정식을 통해 정확히 해석 가능하다.
• E ≤ 1일 경우 전하 밀도는 간극이 없으며 전기장와 공액 관계를 가진다. E > 1일 경우 간극이 생기며, 이는 E=1에서의 연속적인 상전이를 시사한다.
• 유한-N 분할함수는 β에 대해 해석적이나, 무한-N 근사에서는 E=1에서 비해석적 행동을 보이며, 이는 N→∞ 근사에서 허상의 상전이를 나타낸다.
• 고정점 β=0 및 β=∞ 근처에서, 큰 N과 유한-N 계산 간의 윌슨 루프 ω(β,N)가 정확히 일치하여, 임계 영역에서 큰 N 접근법의 신뢰성을 확인한다.
• 큰 N 결과에서 약한 결합 영역에서는 ω(β,N) ≈ β/N = E/2이며, 강한 결합 영역에서는 ω(β,N) ≈ 1 − 1/(2E)로 나타나며, 이는 유한-N 타일러 전개와 일치하여 임계점 근처에서 열역학 근사의 타당성을 검증한다.
• 토플리츠 행렬식으로의 매핑은 이론의 페르미온 표현을 암시하며, 이러한 행렬식의 평가 문제는 N→∞ 근사에서 카우치 커널을 가진 쿠론 가스를 해결하는 것과 동치이다.