[논문 리뷰] A Study on Linear Jaco Graphs

Johan Kok, C Susanth외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 22.

Graph theory and applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 함수 $f(x) = mx + c$로 정의된 무한한 $f(x)$-루트 디그래프에서 유한한, 방향성 있는 그래프인 선형 자코 그래프를 도입한다. 여기서 $m \in \mathbb{N}$, $c \in \mathbb{N}_0$이다. 기본 성질을 수립하며, 차수 공식과 간선 구성 규칙을 포함하고, 특정 선형 자코 그래프에서 간선 수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 제공함으로써 다항식 자코 그래프에 대한 향후 연구의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

We introduce the concept of a family of finite directed graphs (\emph{positive integer order,} $f(x) = mx + c; x,m \in \Bbb N$ and $c \in \Bbb N_0)$ which are directed graphs derived from an infinite directed graph called the $f(x)$-root digraph. The $f(x)$-root digraph has four fundamental properties which are; $V(J_\infty(f(x))) = \{v_i: i \in \Bbb N\}$ and, if $v_j$ is the head of an arc then the tail is always a vertex $v_i, i < j$ and, if $v_k$ for smallest $k \in \Bbb N$ is a tail vertex then all vertices $v_\ell, k < \ell < j$ are tails of arcs to $v_j$ and finally, the degree of a vertex $v_k$ is $d(v_k) = mk + c$. The family of finite directed graphs are those limited to $n \in \Bbb N$ vertices by lobbing off all vertices (and corresponding arcs) $v_t, t > n.$ Hence, trivially we have $d(v_i) \leq mi + c$ for $i \in \Bbb N.$ It is meant to be an \emph{introductory paper} to encourage further research.

연구 동기 및 목표

• 이전 문헌에서 다룬 특수 케이스의 일반화로서 선형 자코 그래프의 개념을 체계화하는 것.
• 무한한 $f(x)$-루트 디그래프와 그 유한한 절단을 정의하여, 일관된 구조적 성질과 차수 성질을 확보하는 것.
• 특정 선형 자코 그래프, 특히 $J_n(f(x))$에서 간선 수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하는 것. 여기서 $n = f(f(1)+1)+1$이다.
• 다항식 자코 그래프 $J_n(f(x))$로의 일반화를 위한 프레임워크를 수립하는 것. 여기서 $f(x)$는 다항식이다.

제안 방법

• 정점 집합 $\{v_i : i \in \mathbb{N}\}$을 가진 무한한 선형 자코 그래프 $J_\infty(f(x))$를 정의하고, $(v_i, v_j)$가 간선이 되기 위한 조건으로 $(f(i) + i) - d^-(v_i) \geq j$를 설정함으로써 체계적이고 방향성 있는 계층을 확보한다.
• 정점 $v_n$으로 향하는 간선의 최소 尾 정점(꼬리 정점)을 결정하기 위해 $c_{f(x),n}$ 시리즈를 도입함으로써 간선의 재귀적 구성이 가능하게 한다.
• 수학적 귀납법과 차수 분석을 사용하여 $n \geq 2$일 때 $d^+(v_n) = (m-1)n + c + c_{f(x),n}$을 증명함으로써 함수 $f(x)$와 정점 $v_n$의 출차수 사이의 관계를 규명한다.
• 완전부분그래프 $K_{m+c+1}$과 이전 정점들에서 유도된 추가 간선으로 그래프를 분해하여 합산 공식을 사용함으로써 $J_n(f(x))$의 간선 수를 유도한다.
• $c_{f(x),n}$이 잘 정의되어 있고 비감소함을 귀납법을 통해 증명함으로써 일관된 간선 생성이 보장됨을 보장한다.
• 간선 정의를 다항식 함수 $f(x) = \sum a_i x^i + c$로 일반화하고, $f(x)$가 음수일 경우의 조정을 고려하여 다항식 자코 그래프로의 일반화를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 $f(x)$-루트 디그래프가 선형 함수 $f(x) = mx + c$로 정의될 때, 이를 바탕으로 유한한 방향성 그래프의 가족을 체계적으로 유도할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 유한한 선형 자코 그래프 $J_n(f(x))$에서 정점 $v_n$의 출차수 $d^+(v_n)$와 함수 $f(x)$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 특정 $n$에 대해 선형 자코 그래프 $J_n(f(x))$의 총 간선 수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 선형 자코 그래프의 구조적 성질, 예를 들어 유도된 부분그래프와 차수 수열은 매개변수 $m$과 $c$에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 어떤 조건을 만족하면 충분히 큰 선형 자코 그래프의 차수 수열로부터 선형 함수 $f(x)$를 유일하게 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 선형 자코 그래프 $J_n(f(x))$에서 정점 $v_n$의 출차수는 $n \geq 2$일 때 $d^+(v_n) = (m-1)n + c + c_{f(x),n}$으로 주어지며, 여기서 $c_{f(x),n}$은 $mk + c_{f(x),k} \geq n$을 만족하는 최소 인덱스 $k < n$이다.
• 간선 수는 $\epsilon(J_n(f(x))) = \epsilon(K_{m+c+1}) + \epsilon(K_{m^2 + m(c-1) - c + 2}) + \frac{1}{2}m(m+c)(m+c-1)$로 주어지며, 이는 완전부분그래프와 추가 간선로부터 도출된다.
• $c_{f(x),n}$은 잘 정의되어 있고 비감소하며, $c_{f(x),n+1} \in \{c_{f(x),n}, c_{f(x),n}+1\}$를 만족함으로써 일관된 간선 생성이 보장된다.
• $f(x) = k-1$일 때, $n \leq m + c + 1$이면 완전그래프 $K_n$은 선형 자코 그래프가 되며, 이 경우 $K_n$은 $m + c + 1$개의 서로 다른 선형 함수에 대응한다.
• 정점 $v_i$와 $v_{i+1}$에서의 최대 간선 인덱스의 차이는 $d(v_i) = f(i)$이고 $d(v_{i+1}) = f(i+1)$일 경우 $m$ 또는 $m+1$이 된다.
• 논문은 다항식 $f(x)$를 가진 다항식 자코 그래프 $J_n(f(x))$를 일반화된 간선 정의와 음수 $f(x)$ 값의 허용을 통해 연구할 수 있다고 제안한다.