[논문 리뷰] A subexponential-time algorithm for the quantum separability problem

Fernando G. S. L. Brandão, Matthias Christandl외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양자 분리 가능성의 약한 멤버십 문제에 대해, 대칭 확장을 검색하는 데 사용되는 준다항식 시간 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 준다항식 시간 복잡도를 갖는다. 이는 양자 얽힘의 단독성에 대한 개선된 de Finetti 유형의 경계를 활용하여, 양자 얽힘의 단독성에 대한 양적 분석을 가능하게 한다. 주요 결과는 유클리드 거리 또는 LOCC 노름으로부터 ε 떨어진 상태와 분리 가능한 상태를 식별하는 데에 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|))의 런타임을 갖는 것으로, 양자 복잡도 이론 및 평균장 해밀토니안에 응용된다.

ABSTRACT

We present a quasipolynomial-time algorithm for solving the weak membership problem for the convex set of separable, i.e. non-entangled, bipartite density matrices. The algorithm decides whether a density matrix is separable or whether it is eps-away from the set of the separable states in time exp(O(eps^-2 log |A| log |B|)), where |A| and |B| are the local dimensions, and the distance is measured with either the Euclidean norm, or with the so-called LOCC norm. The latter is an operationally motivated norm giving the optimal probability of distinguishing two bipartite quantum states, each shared by two parties, using any protocol formed by quantum local operations and classical communication (LOCC) between the parties. We also obtain improved algorithms for optimizing over the set of separable states and for computing the ground-state energy of mean-field Hamiltonians. The techniques we develop are also applied to quantum Merlin-Arthur games, where we show that multiple provers are not more powerful than a single prover when the verifier is restricted to LOCC protocols, or when the verification procedure is formed by a measurement of small Euclidean norm. This answers a question posed by Aaronson et al (Theory of Computing 5, 1, 2009) and provides two new characterizations of the complexity class QMA, a quantum analog of NP. Our algorithm uses semidefinite programming to search for a symmetric extension, as first proposed by Doherty, Parrilo and Spedialieri (Phys. Rev. A, 69, 022308, 2004). The bound on the runtime follows from an improved de Finetti-type bound quantifying the monogamy of quantum entanglement, proved in (arXiv:1010.1750). This result, in turn, follows from a new lower bound on the quantum conditional mutual information and the entanglement measure squashed entanglement.

연구 동기 및 목표

• 이중 양자 상태가 분리 가능한지 여부를 결정하는 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 분리 가능한 상태에 대한 최적화 및 평균장 해밀토니안의 기본 상태 에너지 계산에 있어 런타임 경계를 향상시키는 것.
• LOCC 또는 소규모 노름 측정에 대해 다수의 증거자들이 양자 멜린-아서 게임에서 얼마나 강력한지에 대한 질문을 해결하는 것.
• LOCC 및 소규모 노름 검증 프로토콜을 사용하여 양자 복잡도 클래스 QMA의 새로운 특성화를 수립하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 주어진 밀도 행렬의 대칭 확장을 검색하기 위해 준다항식 시간 복잡도를 갖는 정수형 프로그래밍을 사용한다. 이 방법은 Doherty, Parrilo, Spedialieri가 처음으로 제안하였다.
• 이 알고리즘은 양자 얽힘의 단독성을 정량화하는 데 사용되는 개선된 de Finetti 유형의 경계에 의존한다. 이 경계는 양자 조건부 상호정보의 새로운 하한에서 유도된다.
• 런타임은 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|))로 제한되며, 여기서 |A|와 |B|는 국소 차원이고 ε는 분리 가능한 집합으로부터의 거리이다.
• 거리 측정은 유클리드 노름 또는 LOCC 노름을 사용한다. 이는 국소 연산과 고전적 통신을 통한 상태 구별 능력을 최적화하는 데 의미가 있다.
• 분석은 arXiv:1010.1750에서 제공하는 결과에 기반하며, 이는 스쿼시된 얽힘에 대한 강화된 경계와 그 운영적 의미를 제공한다.
• 이 방법은 다수의 증거자가 LOCC 또는 소규모 노름 측정에 국한된 검증을 받을 경우 QMA의 능력을 증가시키지 않는다는 점을 확장하여 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 양자 상태에 대한 약한 멤버십 문제는 준다항식 시간 내에 해결될 수 있는가? 그리고 오차 허용도 ε 및 국소 차원에 대한 최적의 의존성은 무엇인가?
• RQ2 정수형 프로그래밍을 통한 대칭 확장의 사용은 기존 방법에 비해 양자 분리 가능성에 대한 런타임 향상에 기여하는가?
• RQ3 검증자가 LOCC 프로토콜 또는 소규모 노름 측정에 국한될 경우, 다수의 양자 증거자는 단일 증거자보다 더 강력한가?
• RQ4 더 엄격한 de Finetti 유형의 경계를 통해 양자 얽힘의 단독성을 더 정밀하게 정량화할 수 있는가? 이는 알고리즘 효율성을 향상시키는가?
• RQ5 LOCC 또는 소규모 노름 검증 프로토콜에 제한을 두었을 때 QMA 복잡도 클래스에 새로운 특성화가 도출되는가?

주요 결과

• 알고리즘은 분리 가능한 상태에 대한 약한 멤버십 문제를 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|))의 시간 내에 해결하며, 이는 기존의 지수 시간 방법에 비해 상당한 향상이다.
• 런타임 경계는 유클리드 노름과 LOCC 노름 모두에 대해 유효하며, 후자는 상태의 국소 연산과 고전적 통신을 통한 최적의 구별 능력을 반영한다.
• 양자 조건부 상호정보의 새로운 하한에서 유도된 개선된 de Finetti 유형의 경계가 런타임 보장을 뒷받침한다.
• 이 결과는 검증이 LOCC 또는 소규모 노름 측정에 국한될 경우, 다수의 증거자가 단일 증거자보다 더 강력하지 않다는 것을 시사한다.
• 이 프레임워크는 QMA의 새로운 특성화를 제공하며, 이는 클래스가 LOCC 또는 소규모 노름 검증 프로토콜 하에서도 그대로 유지된다는 것을 보여준다.
• 이 방법은 분리 가능한 상태에 대한 최적화 및 평균장 해밀토니안의 기본 상태 에너지 계산을 위한 개선된 알고리즘을 가능하게 한다.