[논문 리뷰] A subquadratic approximation scheme for partition

Marcin Mucha, Karol Węgrzycki외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 NP-난이도의 PARTITION 문제에 대해 처음으로 부분제곱 시간 보다 빠른 근사 알고리즘을 제안하며, SUBSET SUM 문제를 구조화된 부분 인스턴스로 감소시키고 근사 알고리즘, 가역다항식 방법, 덧셈수학의 기법을 융합하여 O(n + 1/ε⁵/³) 시간의 랜덤화된 FPTAS를 달성한다. 핵심 결과는 이 분야 문제들에 대해 오랫동안 유지되어 온 제곱 시간 장벽을 뛰어넘는 데서 발생하는 시간 복잡도의 돌풍이다.

ABSTRACT

The subject of this paper is the time complexity of approximating KNAPSACK, SUBSET SUM, PARTITION, and some other related problems. The main result is an O(n + 1/e5/3) time randomized FPTAS for PARTITION, which is derived from a certain relaxed form of a randomized FPTAS for SUBSET SUM. To the best of our knowledge, this is the first NP-hard problem that has been shown to admit a subquadratic time approximation scheme, i.e., one with time complexity of O((n + 1/e)2-δ) for some δ > 0. To put these developments in context, note that a quadratic FPTAS for PARTITION has been known for 40 years.Our main contribution lies in designing a mechanism that reduces an instance of SUBSET SUM to several simpler instances, each with some special structure, and keeps track of interactions between them. This allows us to combine techniques from approximation algorithms, pseudo-polynomial algorithms, and additive combinatorics.We also prove several related results. Notably, we improve approximation schemes for 3SUM, (min, +)− convolution, and TREESPARSITY. Finally, we argue why breaking the quadratic barrier for approximate KNAPSACK is unlikely by giving an Ω((n + 1/e)2−o(1)) conditional lower bound.

연구 동기 및 목표

• NP-난이도 문제들인 PARTITION, KNAPSACK, SUBSET SUM에 대해 부분제곱 시간 보다 빠른 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 이러한 문제들에 대한 근사 알고리즘에서 오랫동안 유지되어 온 제곱 시간 장벽을 극복하는 것.
• SUBSET SUM 문제를 더 단순하고 구조화된 부분 인스턴스로 감소시키는 메커니즘을 설계하면서 인스턴스 간 상호작용을 추적하는 것.
• 근사 알고리즘, 가역다항식 알고리즘, 덧셈수학의 기법을 융합하여 효율성을 향상시키는 것.
• 더 이상의 개선이 가능한지 시간 복잡도의 한계를 이해하기 위해 조건부 하한을 설정하는 것.

제안 방법

• 저자들은 원래 인스턴스를 특수한 구조적 특성을 지닌 더 단순한 부분 인스턴스로 감소시켜 SUBSET SUM 문제에 대해 랜덤화된 FPTAS를 설계한다.
• 이러한 부분 인스턴스 간의 상호작용을 추적하고 관리하는 메커니즘을 도입하여 근사 보장을 유지한다.
• 부분 인스턴스의 구조를 제어하고 효율적인 계산을 보장하기 위해 덧셈수학의 기법을 활용한다.
• SUBSET SUM 문제에 대한 랜덤화된 FPTAS의 완화된 형태를 활용하여 PARTITION 문제에 대한 부분제곱 FPTAS를 유도한다.
• 구조화된 부분 인스턴스에서 가역다항식 알고리즘의 특성을 활용하여 전체 런타임을 가속화한다.
• 이 프레임워크는 3SUM, (min, +)-convolution, TREESPARSITY 문제의 근사 알고리즘 개선에도 확장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP-난이도의 PARTITION 문제에 대해 제곱 시간 보다 빠른 근사 알고리즘을 달성할 수 있는가? 즉, 제곱 시간 장벽을 뛰어넘을 수 있는가?
• RQ2 SUBSET SUM 문제의 어떤 구조적 감소 방식이 정확도를 유지하면서도 더 빠른 근사 알고리즘을 가능하게 하는가?
• RQ3 근사 알고리즘, 가역다항식 방법, 덧셈수학의 기법을 어떻게 융합하여 런타임을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 KNAPSACK 문제를 부분제곱 시간 내에서 근사하는 데 있어 조건부 하한은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 3SUM 및 (min, +)-convolution과 같은 다른 문제들의 근사 알고리즘 향상에 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 기존의 40년간 유지되어 온 제곱 시간 FPTAS를 뛰어넘어 시간 복잡도 O(n + 1/ε⁵/³)를 달성한 PARTITION 문제에 대한 첫 번째 부분제곱 FPTAS를 제시한다.
• 이 결과는 정확도를 유지하면서도 구조화된 부분 인스턴스로의 감소를 가능하게 하는, SUBSET SUM 문제에 대한 완화된 랜덤화된 FPTAS에서 유도된다.
• 이 프레임워크는 동일한 핵심 메커니즘을 활용하여 3SUM, (min, +)-convolution, TREESPARSITY 문제의 근사 알고리즘 개선에 기여한다.
• O((n + 1/ε)²⁻ᵒ⁽¹⁾)의 조건부 하한이 확립되어, 약간의 근사로도 KNAPSACK 문제의 제곱 시간 장벽을 뛰어넘는 것은 거의 불가능하다는 것을 보여준다.
• 근사 알고리즘과 가역다항식 기법에 덧셈수학의 기법을 융합함으로써, NP-난이도 문제에 대한 부분제곱 알고리즘으로의 새로운 길을 열었다.