[논문 리뷰] A subspace shift technique for solving close-to-critical nonsymmetric algebraic Riccati equations

Bruno Iannazzo, Federico Poloni|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 05.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 19인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 M-행렬 구조를 가진 가까운 임계점 근처의 비대칭 대수 Riccati 방정식(NAREs)을 풀 때 수렴 속도를 가속화하고 조건수를 개선하기 위해 부분공간 이동(subspace shift) 기법을 도입한다. 특이점 근처의 악조건화를 보완하기 위해 반복적 부분공간 반복 과정을 수정함으로써, 전체 행렬 역행렬 계산을 요구하지 않고도 빠른 수렴을 복원한다. 수치 실험을 통해 어려운 케이스에서도 강건한 성능을 보여 검증되었다.

ABSTRACT

The worst situation in computing the minimal nonnegative solution X� of a nonsymmetric algebraic Riccati equation R(X) = 0 associated with an M-matrix occurs when the derivative of R at Xis near to a singular matrix. When the derivative of R at Xis singular, the problem is ill-conditioned and the convergence of the algorithms based on matrix iterations is slow; however, there exist some techniques to remove the singularity and restore well-conditioning and fast convergence. This phenomenon is partially shown also in the close-to-critical case, but the techniques used for the null recurrent case cannot be applied to this setting. We present a new method to accelerate the convergence and amend the conditioning in close-to-critical cases. The numerical experiments confirm the efficiency of the new method.

연구 동기 및 목표

• 가까운 임계점 근처의 비대칭 대수 Riccati 방정식(NAREs)을 풀 때 발생하는 느린 수렴과 악조건화 문제를 해결하기 위해.
• 정확히 특이점인 영재귀적(null recurrent) 경우에만 효과적인 기존의 특이점 제거 기법은 가까운 임계점 영역에서는 성능이 떨어지므로, 이러한 한계를 극복하기 위해.
• Riccati 연산자의 도함수가 거의 특이점에 가까울 때 NARE 해법기에서 빠른 수렴과 양호한 조건수를 복원하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 악조건화된 NARE 문제에서 표준 반복 방법의 대안으로 수치적으로 강건하고 효율적인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 악조건화된 특이점 근처에서의 반복적 부분공간 반복 과정을 수정하여 악조건화를 보완하는 부분공간 이동 기법을 도입한다.
• 거의 특이점인 도함수 행렬의 직접 역행렬 계산을 피함으로써 수치적 안정성을 유지하는 방식으로 검색 부분공간을 재정의한다.
• 문제가 되는 방향을 반복 공간에서 분리하는 유사 정규화 기법을 기반으로 한 이동을 도입한다.
• NARE의 M-행렬 구조를 활용하여 수정된 반복 과정이 여전히 양호한 조건수와 수렴성을 유지하도록 한다.
• 기본적인 Riccati 방정식의 구조를 변경하지 않고 부분공간 이동을 표준 고정점 또는 뉴턴 유형 반복에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도함수가 거의 특이점에 가까운 가까운 임계점 근처의 비대칭 대수 Riccati 방정식에서 수렴 속도를 어떻게 가속화할 수 있는가?
• RQ2 기존의 특이점 제거 기법은 왜 가까운 임계점 케이스에서는 실패하고, 어떤 대안적 접근이 조건수를 복원할 수 있는가?
• RQ3 완전한 행렬 분해를 요구하지 않고도 조건수와 수렴성을 향상시킬 수 있는 부분공간 이동 기법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 악조건화된 환경에서 NARE 해법기의 수치적 안정성과 효율성에 부분공간 이동이 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 부분공간 이동 기법은 표준 반복 방법이 느리게 수렴하는 가까운 임계점 NARE 문제에서 빠른 수렴을 성공적으로 복원한다.
• 이 방법은 거의 특이점인 도함수 방향의 영향을 효과적으로 분리하고 제거함으로써 수치적 조건수를 향상시킨다.
• 수치 실험을 통해 도함수가 거의 특이점에 가까울 경우에도 기법이 강건하고 효율적임을 확인하였으며, 표준 반복 해법기보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 전체 행렬 역행렬 계산이나 명시적 정규화를 피함으로써 계산 효율성을 유지한다.