[논문 리뷰] A sufficient condition for subexponential asymptotics of GI/G/1-type Markov chains and its application to BMAP/GI/1 queues

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 17.

Advanced Queuing Theory Analysis인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 재해가 없는 GI/GI/1 유형의 마르코프 체인에서 하위지수적 점근적 성질을 위한 새로운 충분조건을 확립한다—무한대에서 0으로의 전이가 없는 마르코프 체인—이를 통해 정적 분포의 더 정밀한 점근적 분석이 가능해진다. 이 방법은 BMAP/GI/1 및 MAP/GI^(a,b)/1 대기열에 적용되어 이전 연구보다 더 약한 조건 하에서 새로운 또는 개선된 점근적 공식을 도출한다.

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to present a new sufficient condition for the subexponential asymptotics of the stationary distribution of a GI/GI/1-type Markov chain without jumps from level infinity to level zero. For simplicity, we call such Markov chains {\it GI/GI/1-type Markov chains without disasters} because they are often used to analyze semi-Markovian queues without disasters, which are negative customers who remove all the customers in the system (including themselves) on their arrivals. In this paper, we demonstrate the application of our main result to the stationary queue length distribution in the standard BMAP/GI/1 queue. Thus we obtain new asymptotic formulas and prove the existing formulas under weaker conditions than those in the literature. In addition, applying our main result to a single-server queue with Markovian arrivals and the $(a,b)$-bulk-service rule (i.e., MAP/${ m GI}^{(a,b)}$/1 queue), we obatin a subexponential asymptotic formula for the stationary queue length distribution.

연구 동기 및 목표

• 무한대에서 0으로의 전이가 없는 GI/GI/1 유형의 마르코프 체인에서 하위지수적 점근적 성질을 위한 새로운 충분조건을 도출하는 것.
• 이전에 요구된 바보다 더 약한 조건 하에서 BMAP/GI/1 대기열의 정적 대기열 길이 분포의 점근적 분석을 향상시키는 것.
• 단일 서비스자 대기열에 대한 주요 결과의 적용 범위를 병행 도착 및 병행 서비스 규칙을 갖는 대기열, 예를 들어 MAP/GI^(a,b)/1 대기열로 확장하는 것.
• 새로운 조건을 활용하여 대기열 길이 분포에 대해 더 날카롭고 일반적인 점근적 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• 저자는 재해가 없는 GI/GI/1 유형의 마르코프 체인을 분석하며, 전이 비율의 구조와 극단적 수준에서 정적 분포의 행동에 중점을 둔다.
• 전이 비율 행렬의 尾행동과 정적 분포의 점근적 감쇠율을 포함하는 새로운 충분조건을 도입한다.
• 이 방법은 스펙트럼 분석과 리아프노프 함수 기법을 활용하여 정적 분포의 꼬리 감쇠율을 경계하는 데 의존한다.
• 이 조건은 BMAP/GI/1 대기열의 임bedded 마르코프 체인에 적용되어 하위지수적 점근적 분석이 가능해진다.
• MAP/GI^(a,b)/1 대기열의 경우, 병행 도착과 병행 서비스를 고려하기 위해 방법이 적응되어 하위지수적 점근적 공식을 도출한다.
• 이론적 유도는 점근적 행동의 타당성을 검증하기 위해 확률적 쌍화 및 샘플 경로 추론을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재해가 없는 GI/GI/1 유형의 마르코프 체인에서 하위지수적 점근적 성질을 보장하는 충분조건는 무엇인가?
• RQ2 기존에 알려진 바보다 더 약한 조건 하에서 BMAP/GI/1 대기열의 정적 대기열 길이 분포의 점근적 행동를 유도할 수 있는가?
• RQ3 새로운 조건은 병행 도착과 병행 서비스를 갖는 대기열, 예를 들어 MAP/GI^(a,b)/1 대기열로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 MAP/GI^(a,b)/1 대기열에서 정적 대기열 길이의 하위지수적 점근적 공식의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ5 기존의 BMAP/GI/1 대기열에 대한 점근적 공식들은 이 새로운 조건을 통해 더 넓은 일반성으로 재유도될 수 있는가?

주요 결과

• 재해가 없는 GI/GI/1 유형의 마르코프 체인에서 하위지수적 점근적 성질을 위한 새로운 충분조건가 확립되었으며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 기존 문헌에서 요구하는 조건보다 더 약한 조건 하에서 BMAP/GI/1 대기열의 정적 대기열 길이에 대한 점근적 공식이 도출되었다.
• 이 방법은 병행 도착과 병행 서비스를 모델링하는 MAP/GI^(a,b)/1 대기열의 정적 대기열 길이 분포에 하위지수적 점근적 공식을 도출한다.
• 새로운 조건은 복잡한 도착 및 서비스 구조를 갖는 대기열에서 꼬리 행동의 보다 정교한 분석을 가능하게 한다.
• 기존 방법이 실패할 경우에도 정적 분포의 점근적 감쇠율이 이 새로운 조건를 통해 특성화될 수 있음을 입증하였다.
• 이 틀은 이전에 이용 가능했던 것보다 더 일반적이고 더 정밀한 점근적 공식의 유도를 가능하게 한다.