[논문 리뷰] A supercongruence involving cubes of Catalan numbers

Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 28.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$ 모듈로 $p^3$에서 카탈란 수의 제곱합에 대한 초합동식을 수립한다. 이는 이전에 지위위 선 씨가 $p$ 모듈로에서 확립한 결과를 일반화한 것이다. $p$-진 감마 함수와 초함수 항등식을 사용하여, 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$가 $p \mod 4$에 따라 달라지는 합동식을 만족함을 증명한다. 이 합동식은 $\Gamma_p(1/4)^4$와 오일러 수를 포함하며, $p \equiv 1 \pmod{4}$와 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우에 대해 명시적인 표현을 제공한다.

ABSTRACT

We mainly show a supercongruence for a truncated series with cubes of Catalan numbers which extends a result by Zhi-Wei Sun.

연구 동기 및 목표

• 카탈란 수의 세제곱에 대한 수니 씨의 $p$-초합동식을 더 높은 $p$-진 정밀도, 즉 모듈로 $p^3$으로 확장한다.
• 모리타의 $p$-진 감마 함수 $\Gamma_p$를 사용하여 잘라낸 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$에 대한 닫힌 형태의 $p$-진 합동식을 수립한다.
• 닫힌 공식이 존재하지 않는 부분합 $C_k^d / (4^d)^k$에 대해 $d=3$의 경우를 $p$-진 분석과 초함수 항등식을 통해 해결한다.
• 특히 소수 $p \equiv 1 \pmod{4}$와 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우에 대해 기존의 모듈로 $p^2$ 및 $p^3$ 합동식을 개선한다.

제안 방법

• 골드의 합동식 (2)와 부분 분수 전개를 사용하여 $\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k$를 포함하는 다항식 가중 합을 유도한다.
• 이항계수의 $p$-진 전개와 $p$-진 감마 함수 $\Gamma_p$를 적용하여 $n = (p-1)/2$일 때 $\binom{2\lfloor n/2\rfloor}{\lfloor n/2\rfloor}^2 / 16^{\lfloor n/2\rfloor}$를 모듈로 $p^3$으로 분석한다.
• 딕슨 정리와 [10]의 보조정리 4.2를 포함한 알려진 초함수 항등식을 사용하여 조화수 $H_k^{(2)}$를 포함하는 합을 평가한다.
• 특히 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우, $\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{2m}{k}^3 H_k^{(2)} = \frac{(-1)^m}{2} \frac{(3m)!}{(m!)^3} (H_m^{(2)} + H_{2m}^{(2)})$라는 항등식을 활용한다.
• $p \equiv 1 \pmod{4}$인 경우, $\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\binom{2k}{k}/(-4)^k(k+1)^3$와 $H_{k+1}^{(2)}$를 포함하는 합의 변환을 통해 합동식을 유도한다.
• 조화수의 $p$-진 전개와 오일러 수 $E_{p-3}$에 기반하여, $H_{\lfloor p/4\rfloor}^{(2)} \equiv_p (-1)^n 4E_{p-3}$와 같은 알려진 합동식을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카탈란 수의 제곱합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k}$에 대해 모듈로 $p^3$에서 초합동식을 수립할 수 있는가? 이는 수니 씨의 $p$-합동식을 확장하는가?
• RQ2 $p$-진 감마 함수 $\Gamma_p(1/4)$는 이러한 초합동식의 구조에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 소수 $p \equiv 1 \pmod{4}$와 $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우에 대해 $p^3$-합동식 표현의 차이는 무엇인가?
• RQ4 예를 들어 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k}$와 같은 더 높은 가중치를 가진 합도 $p^3$-초합동식을 만족하는가?
• RQ5 초함수 항등식과 $p$-진 조화수 전개는 이러한 초합동식을 증명하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 소수 $p > 2$에 대해, $p \equiv 1 \pmod{4}$일 때 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{24p^2}{\Gamma_p^4(1/4)}$이다.
• $p \equiv 3 \pmod{4}$일 때, 동일한 합은 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} 8 - \frac{384}{\Gamma_p^4(1/4)}$를 만족한다.
• $p \equiv 1 \pmod{4}$인 경우의 합동식은 항 $-\Gamma_p^4(1/4)(1 + p^2 E_{p-3}/2)$를 포함하여 오일러 수와 연결된다.
• $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우의 합동식은 분자에 보정 항 $16 + 32p + p^2(48 - 8E_{p-3})$가 포함되어 있다.
• 보조 초합동식으로, $p \equiv 1 \pmod{4}$일 때 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{p^2}{40\Gamma_p^4(1/4)}$가 증명되었다.
• $p \equiv 3 \pmod{4}$일 때, 동일한 합은 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k^3 C_k^3}{64^k} \equiv_{p^3} -\frac{2}{5\Gamma_p^4(1/4)}$를 만족한다.