[논문 리뷰] A Superconvergent Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Dirichlet Boundary Control of Elliptic PDEs

Weiwei Hu, Jiguang Shen외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 타원 PDE에 의해 지배되는 딜레르흐 경계 제어 문제를 해결하기 위한 하이브리드 가능 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 제안한다. 적절한 정규성 가정 하에 2차원 볼록 다각형 영역에서 최적 제어에 대해 $ O(h^{3/2- u}) $ 의 초선형 수렴 속도를 확립하였으며, 2차원 및 3차원 수치 실험을 통해 검증하였다.

ABSTRACT

We begin an investigation of hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) methods for approximating the solution of Dirichlet boundary control problems governed by elliptic PDEs. These problems can involve atypical variational formulations, and often have solutions with low regularity on polyhedral domains. These issues can provide challenges for numerical methods and the associated numerical analysis. We propose an HDG method for a Dirichlet boundary control problem for the Poisson equation, and obtain optimal a priori error estimates for the control. Specifically, under certain assumptions, for a 2D convex polygonal domain we show the control converges at a superlinear rate. We present 2D and 3D numerical experiments to demonstrate our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 다각형 영역에서 낮은 정규성의 해를 가진 딜레르흐 경계 제어 문제를 해결하는 데 발생하는 수치적 과제를 다루기.
• 상태 방정식에서 비표준 경계 조건으로 인해 발생하는 변분 형식의 곤경을 해결하기.
• 도메인 기반 자유도를 줄이면서도 정확도를 유지하는 고차수, 효율적인 이산화 방법 개발하기.
• 현실적인 정규성 가정 하에 특히 제어 변수에 대해 최적의 사전 오차 추정을 확립하기.
• 2차원 및 3차원 수치 실험을 통해 방법의 강건성과 수렴 행동을 입증하기.

제안 방법

• 약한 형식을 사용하여 상태, 수반 상태 및 유량 변수를 포함하는 혼합 시스템으로 딜레르흐 경계 제어 문제를 공식화하기.
• 요소 기반 자유도를 국소적으로 제거할 수 있도록 상태 및 수반 방정식을 이산화하기 위해 하이브리드 가능 불연속 갈레르킨(HDG) 방법 적용하기.
• 유량에 대해 라비아르트-톰슨 유형의 유한요소 공간 사용하고, 상태 및 수반 변수에 대해 불연속 다항식 사용하기.
• 블록 행렬 분해를 통한 국소 해법기 구축하여 정적 축소를 통해 전역 시스템을 효율적으로 해결하기.
• 결과로 얻어진 선형 시스템이 대칭적이고 양의 정부호임을 보장하여 효율적인 반복 해법기 사용 가능하게 하기.
• HDG의 구조를 활용하여 수치적 유량과 후처리의 특성을 이용해 제어 변수에서 초수렴을 달성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HDG 방법이 낮은 정규성 해를 가진 딜레르흐 경계 제어 문제에서 최적 제어에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 비표준 변분 형식을 가진 타원 PDE에 적용했을 때 HDG 방법이 높은 정확도와 효율성을 유지하는가?
• RQ3 표준 정규성 가정 하에 2차원 볼록 다각형 영역에서 제어 변수의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 자유도 수와 수렴 행동 측면에서 HDG 방법은 기존의 혼합 유한요소 방법보다 어떻게 비교되는가?
• RQ5 HDG 프레임워크는 대류 지배 흐름이나 불연속성을 포함하는 더 복잡한 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 볼록 다각형 영역에서 $ y_d otin H^1(ar{ abla}) $ 인 경우, 적절한 정규성 가정 하에 최적 제어는 임의의 $ u > 0 $ 에 대해 $ O(h^{3/2- u}) $ 의 초선형 수렴 속도를 보인다.
• 상태 및 수반 상태는 $ O(h^{3/2- u}) $ 에 수렴하고, 그 유량은 $ O(h^{1- u}) $ 에 수렴하여 혼합 변수에 대해 최적 수렴을 나타낸다.
• 3차원에서는 수치 실험을 통해 이론적 추정과 일치하는 수렴 속도를 확인하였다: 상태 및 수반 상태는 $ O(h^{3/2- u}) $, 유량은 $ O(h^{1- u}) $.
• 제어 오차는 2차원에서 약 $ O(h^{1.5}) $, 3차원에서 약 $ O(h^{1.3}) $ 에 수렴하여 이론적 초선형 수렴 속도에 가까워진다.
• 정적 축소 덕분에 표준 혼합 방법에 비해 전역적으로 연결된 자유도의 수를 크게 줄였다.
• 블록 대각 행렬 구조와 작은 블록의 병렬화 가능한 역행렬 계산 덕분에 국소 해법이 계산적으로 효율적이며, 확장 가능한 구현이 가능하다.