[논문 리뷰] A Supermanifold structure on Spaces of Morphisms between Supermanifolds

F. Hanisch|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 초다양체 사이의 매끄러운 사상의 공간에 대해 Molotkov와 Sachse의 프레임워크에 기반한 함자적 접근을 사용하여 초다양체 구조를 구축한다. 사상들을 관련 벡터 번들의 단면으로 식별하고, Kriegl과 Michor의 유용한 미적분학을 통해 무한차원 다양체 구조를 부여함으로써, 보조 선택 사항(예: 접선)에 영향을 받지 않는 초매끄러운 구조를 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$에 수립한다.

ABSTRACT

The aim of this work is the construction of a "supermanifold of morphisms $X ightarrow Y$", given two finite-dimensional supermanifolds $X$ and $Y$. More precisely, we will define an object $\underline{SC}^\infty(X,Y)$ in the category of supermanifolds proposed by Molotkov and Sachse. Initially, it is given by the set-valued functor characterised by the adjunction formula $\mathrm{Hom}(P imes X,Y) \cong \mathrm{Hom}(P,\underline{SC}^\infty(X,Y))$ where $P$ ranges over all superpoints. We determine the structure of this functor in purely geometric terms: We show that it takes values in the set of certain differential operators and establish a bijective correspondence to the set of sections in certain vector bundles associated to $X$ and $Y$. Equipping these spaces of sections with infinite-dimensional manifold structures using the convenient setting by Kriegl and Michor, we obtain at a supersmooth structure on $\underline{SC}^\infty(X,Y)$, i.e. a supermanifold of all morphisms $X ightarrow Y$.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 초다양체 $X$와 $Y$ 사이의 매끄러운 사상 $X \to Y$의 공간에 잘 정의된 초다양체 구조를 구축하는 것.
• 함자 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$의 기하적 실현을, 인접 공식을 통해 정의된 것으로서, 벡터 번들의 단면을 통해 제공하는 것.
• Kriegl과 Michor의 유용한 미적분학을 사용하여 사상 초다양체에 초매끄러운 아틀라스를 수립하는 것.
• 결과로 얻어진 초다양체 구조가 접선과 같은 보조 기하 선택 사항에 의존하지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 초점점 $P$에 대해 $\mathrm{Hom}(P \times X, Y) \cong \mathrm{Hom}(P, \underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y))$를 만족하는 함자적 인접 공식을 통해 사상 초다양체 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$를 정의한다.
• 미분 연산자와 초대수적 구조를 사용하여 이 함자의 값이 $X$ 위의 특정한 벡터 번들의 단면으로 기하학적으로 식별됨을 보인다.
• Kriegl과 Michor의 유용한 미적분학 프레임워크를 통해 단면의 공간에 무한차원 다양체 구조를 도입하여, $X$가 비유계일 경우에도 매끄러움을 보장한다.
• $\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-선형성과 전환 지도의 초매끄러움을 검증하여 초매끄러운 아틀라스를 구성한다.
• 다른 접선을 사용한 다양한 기하 실현 간에 명시적인 초다양체 동형사상을 통해 이들이 서로 동형임을 보여준다.
• 다양체의 동형사상과 초대수적 준동형사상을 통한 사상의 분해를 이용하여 좌표 전환의 구조를 분석하고 초매끄러움을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 초다양체 사이의 매끄러운 사상의 공간에 잘 정의된 초다양체 구조를 구축할 수 있는가?
• RQ2 함자 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$가 인접 공식으로 정의되었을 때, 이를 미분 연산자와 벡터 번들의 단면을 통해 어떻게 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ3 결과로 얻어진 초다양체 구조는 접선과 같은 보조 선택 사항에 의존하는가?
• RQ4 유용한 미적분학 프레임워크를 사용하여 무한차원 사상 공간에 초매끄러운 구조를 도입할 수 있는가?
• RQ5 다양한 기하 실현 방식으로 얻어진 사상 초다양체는 자연스럽게 동형인가?

주요 결과

• 사상 $X \to Y$의 공간은 함자적 인접 공식을 통해 초다양체 $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$로 실현되며, 이 값들은 $X$ 위의 특정한 번들의 단면으로 식별된다.
• $\underline{\mathrm{SC}}^{\infty}(X,Y)$의 값들은 $X$와 $Y$에 관련된 번들과의 단면에 의해 전단사적으로 매개화되며, 이는 사상의 기하학적 해석을 제공한다.
• Kriegl과 Michor의 유용한 미적분학을 통해 이 단면들에 무한차원 다양체 구조를 수립함으로써, 사상 초다양체에 초매끄러운 구조를 수립할 수 있다.
• 접선의 선택에 영향을 받지 않는다는 것을, 서로 다른 접선을 사용한 실현 간에 초다양체 동형사상을 구성함으로써 보여주었다.
• 좌표 차트 간 전환 지도는 $\Lambda_n^{\mathrm{ev}}$-선형성과 이전의 보조정리에서의 계산을 적응시켜 초매끄러움이 확인되었다.
• 모든 두 실현 간에 자연스러운 초다양체 동형사상을 수립함으로써, 초다양체 구조가 보조 데이터에 의존하지 않음을 증명하였다.