[논문 리뷰] A survey of nearisometries

Jussi Väısälä|ArXiv.org|2002. 01. 11.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 거리의 작은 덧셈 오차 ε 내에서 거리를 근사적으로 유지하는 nearisometries—즉, ε-nearisometry—의 안정성에 대해 조사한다. 바나흐 공간에서 이러한 맵은 균일하게 진정된 등장사상으로 근사 가능하며, 근사 오차에 대해 선형 상한을 가진다. 주요 결과는 전체 공간에서 전사적인 ε-nearisometry에 대해 2ε 이내의 선형 등장사상이 존재하며, 이 상한이 정확히 날카로운 것임을 증명한다.

ABSTRACT

Let E and F be Banach spaces, let A be a subset of E, and let s \ge 0. A map f: A -> F is an s-nearisometry if |x-y|-s \le |fx-fy| \le |x-y|+s for all x,y in A. The article gives a survey on the stability problem: How well can an s-nearisometry be approximated by a true isometry? The first result on this problem was given by Hyers and Ulam in 1945 for surjective nearisometries between Hilbert spaces. The present article contains an addendum to the published paper, giving recent results on nearsurjective maps of Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서의 ε-nearisometry의 안정성 조사: 이러한 맵이 진정된 등장사상으로 균일하게 근사 가능한가?
• ε-nearisometry와 선형 등장사상 사이의 거리에 대한 최적의 균일 상한을 결정하기.
• 특히 유한차원 유클리드 공간에서 등장사상 근사 성질(IAP)이 성립하는 유계 집합을 특성화하기.
• 등장사상의加법적 및 곱셈적 편향 사이의 관계를 탐구하고, ε-nearisometry와 bilipschitz 맵을 비교하기.
• nearisometry가 양호한 등장사상 근사로 이어지는 양적 기하 조건을 설정하기, 특히 c-소라 시스템 개념을 통해.

제안 방법

• ε-nearisometry를 A → F 사상 f로 정의하며, 모든 x,y ∈ A에 대해 ||x−y| − |fx−fy|| ≤ ε를 만족시킴.
• f(0)=0일 때, Tx = lim_{t→∞} f(tx)/t로 정의된 극한 구조를 통해 선형 등장사상 후보 T를 정의함.
• Mazur-Ulam 정리를 적용하여 전사적 등장사상이 약간의 이동을 제외하고 선형임을 보임.
• 집합의 지름 ≤2일 때의 커버링 반경을 유계하기 위해 Jung 상수 J(E)를 사용함.
• c-solar 시스템 개념 도입: 중심점과 기하 부등식을 만족하는 별성들을 가진 유계 집합으로, c-IAP를 가진 집합을 특성화함.
• 유클리드 공간 내에서 기하학적 및 거리론적 추론을 통해 c-IAP와 c′-solar 시스템 간의 동치성을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ε-nearisometry f: E → F가 바나흐 공간 E에서 균일하게 선형 등장사상 T로 근사 가능할 수 있으며, d(T,f) ≤ cε를 만족하는 절대 상수 c가 존재하는가?
• RQ2 바나흐 공간에서 ε-nearisometry에 대해 d(T,f) ≤ cε의 상한에서 c의 최적 값은 무엇이며, 이 상한이 날카로운가?
• RQ3 유계 부분집합 A ⊂ ℝⁿ에서 모든 ε-nearisometry f: A → F가 균일한 등장사상 근사를 갖는 조건은 무엇이며, 어떤 기하 조건이 이를 보장하는가?
• RQ4 ε-nearisometry는 bilipschitz 맵과 어떻게 관련되어 있으며, ε-nearisometry는 ℝⁿ에서 제어 가능한 왜곡을 갖는 bilipschitz 맵으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 모든 바나흐 공간 E에 대해 d(S,f) ≤ J(E)ε + t 상한이 날카로운가? 그리고 t를 0으로 취할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 전사적 ε-nearisometry f: E → F에 대해 f(0)=0이면, d(T,f) ≤ 2ε를 만족하는 전사적 선형 등장사상 T: E → F가 존재하며, 이 상한은 날카로운 것으로 밝혀짐.
• d(T,f) ≤ 2ε 상한이 최적임을 보여주는 반례가 존재함: ℝ에서 f(x) = x−ε for x≠0,ε, f(0)=f(ε)=−ε 인 경우, T의 부호에 관계없이 d(T,f)=2ε가 됨.
• 모든 ε-nearisometry f: E → F에 대해, 임의의 t>0에 대해 d(S,f) ≤ J(E)ε + t를 만족하는 약간의 이동을 가진 등장사상 S: E → F가 존재함. 만약 E가 지름 ≤2인 모든 유계 집합이 반지름 J(E)의 구로 커버링 가능한 경우, t→0일 때 등호가 성립함.
• 힐베르트 공간에서는 d(S,f) ≤ 2ε 상한이 날카로우며, c 공간에서도 동일한 결과가 성립함. c₀ 공간에서는 2ε 상한의 날카로움을 더 단순한 증명으로 보일 수 있음.
• 유계 집합 A ⊂ ℝⁿ이 c-IAP를 가진다는 것과 A가 c′-solar 시스템이라는 것은 동치이며, 여기서 c′-solar 시스템은 중심, 별성, 특정 기하 부등식을 만족하는 태양을 포함하는 구조로 정의됨.
• bilipschitz 확장 정리 성립: A가 매개수 c를 가진 두꺼운 조건을 만족하면, 모든 (1+ε)-bilipschitz 사상 f: A → ℝⁿ은 ε ≤ ε₀일 때, (1+c′ε)-bilipschitz 사상 g: ℝⁿ → ℝⁿ로 확장 가능함.