[논문 리뷰] A survey of non-uniqueness results for the anisotropic Calder{\'o}n problem with disjoint data

Thierry Daudé, Niky Kamran외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $n \geq 3$ 차원의 리만다양체에서 경계의 분리된 딜리클레 및 노이만 데이터를 가진 비등방성 칼라에이 문제에 대해 새로운 비유일성 결과를 확립한다. 경계의 분리된 부분집합에서 측정된 데이터에 대해 딜리클레-노이만 맵에 대한 새로운 게이지 불변성을 도입하고, 실린더 다각형에서의 워프드 프로덕트 계량을 통해 명시적인 반례를 구성하여, 고정된 주파수에서 동일한 부분 DN 맵을 갖는 무수히 많은 서로 다른 등각 계량이 존재할 수 있음을 보여준다. 이러한 결과는 이 새로운 게이지 대칭성에 대해 성립하며, 부분 경계 데이터를 가진 역문제에서 유일성의 본질적 한계를 보여준다.

ABSTRACT

After giving a general introduction to the main known results on the anisotropic Calder{\'o}n problem on n-dimensional compact Riemannian manifolds with boundary, we give a motivated review of some recent non-uniqueness results obtained in [5, 6] for the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency, in dimension n $\ge$ 3, when the Dirichlet and Neumann data are measured on disjoint subsets of the boundary. These non-uniqueness results are of the following nature: given a smooth compact connected Riemannian manifold with boundary (M, g) of dimension n $\ge$ 3, we first show that there exist in the conformal class of g an infinite number of Riemannian metrics gmetrics metrics g such that their corresponding Dirichlet-to-Neumann maps at a fixed frequency coincide when the Dirichlet data $\Gamma$D and Neumann data $\Gamma$N are measured on disjoint sets and satisfy $\Gamma$D $\cup$ $\Gamma$N = $\partial$M. The corresponding conformal factors satisfy a nonlinear elliptic PDE of Yamabe type on (M, g) and arise from a natural but subtle gauge invariance of the Calder{\'o}n when the data are given on disjoint sets. We then present counterexamples to uniqueness in dimension n $\ge$ 3 to the anisotropic Calder{\'o}n problem at fixed frequency with data on disjoint sets, which do not arise from this gauge invariance. They are given by cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends, equipped with a suitably chosen warped product metric. This survey concludes with some remarks on the case of manifolds with corners.

연구 동기 및 목표

• 경계의 분리된 부분집합에서 딜리클레 및 노이만 데이터가 측정될 때 비등방성 칼라에이 문제에서의 유일성 문제라는 근본적인 과제를 다루기.
• 비등방성 칼라에이 문제에서 경계 데이터가 분리된 조건에서 발생하는 비선형 타입의 야마베 방정식에 기반한 새로운 게이지 불변성을 식별하고 체계화하기.
• 새로 식별된 게이지 불변성과 독립적으로 고정 주파수에서 비등방성 칼라에이 문제의 유일성에 대한 명시적 반례를 구성하기.
• 경계의 부드러움 조건을 완화하여 각도를 가진 다각형으로의 비유일성 결과를 확장하여, 연결된 경계가 있는 경우에도 반례가 유지됨을 보여주기.
• 리만다양체에서의 역문제 맥락에서 최근의 비유일성 결과와 그 기하학적 기초를 종합적으로 조사하기.

제안 방법

• 경계가 있는 컴acts 리만다양체에서 라플라스-베르트라미 연산자의 부분 딜리클레-노이만(DN) 맵 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$ 를 정의하며, 여기서 $\Gamma_D$ 및 $\Gamma_N$ 은 $\partial M$ 의 분리된 열린 부분집합이다.
• 디피오모르피즘이 $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ 를 고정하는 경우에 대해 부분 DN 맵에 대한 새로운 게이지 불변성을 확립하고, $n \geq 3$ 에서는 등각 요소에 대한 비선형 야마베 유형의 PDE로부터 유도되는 등각 게이지 불변성을 식별한다.
• 실린더 다각형 $M = [0,1] \times K$ 에 등장하는 워프드 프로덕트 계량 $g = dt^2 + a(t)^2 g_K$ 를 사용하여 반례를 구성한다. 여기서 $a(t)$ 는 매끄럽고 양수인 함수이다.
• K 위에서 라플라시안의 스펙트럼 분해에서 변수 분리 기법을 적용하여, $-\Delta_K$ 의 딜리클레 스펙트럼에 따라 매개변수화된 일련의 1차원 경계값 문제로 문제를 축소한다.
• 하한 및 상한 해 방법을 적용하여 비선형 딜리클레 문제 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 이 $M$ 에서 해를 가지며, $w = \eta$ on $\partial M$ 이고, $\eta = 1$ on $\Gamma_D \cup \Gamma_N$ 인 매끄러운 양수 해의 존재를 증명한다.
• 다른 잠재력 $V$ 와 $\tilde{V}$ 를 갖는 서로 다른 등각 요소 $c$ 와 $\tilde{c}$ 가 존재하여, 부분 DN 맵 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{\tilde{c}^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ 가 동일함을 보여, 게이지 불변성에 대해 비유일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계에서 $\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset$ 인 컴팩트 리만다양체에서 부분 딜리클레-노이만 맵 $\Lambda_{g,\Gamma_D,\Gamma_N}(\lambda)$ 는 고정 주파수 $\lambda$ 에서 계량 $g$ 를 유일하게 결정하는가?
• RQ2 경계 부분집합에서 데이터가 측정될 때 비등방성 칼라에이 문제의 비유일성의 배경이 되는 기하학적 또는 해석적 구조는 무엇인가?
• RQ3 분리된 데이터 조건에서 표준적인 딜리클레-노이만 변환 및 등각 게이지 불변성 이외의 비유일성이 발생할 수 있는가?
• RQ4 경계가 연결되어 있지만 다각형이 부드럽지 않은 경우, 각도를 가진 다각형으로의 비유일성 결과는 어떻게 확장되는가?
• RQ5 실린더 다각형에서 워프드 프로덕트 계량을 사용하여, 서로 다른 등각 요소를 가진다 해도 동일한 부분 DN 맵을 갖는 명시적 반례를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 실린더 다각형 $M = [0,1] \times K$ 에서 $n \geq 3$ 인 경우, $\Gamma_D, \Gamma_N \subset \partial M$ 이 분리되어 있을 때, $\tilde{g} = c^4 g$ 의 등각 계량의 무한한 가족이 존재하여 $\Lambda_{\tilde{g}, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda) = \Lambda_{g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ 를 만족하지만, $\tilde{g} \neq g$ 이다.
• 비유일성은 등각 요소에 대한 비선형 야마베 유형 PDE 와 연결된 새로운 게이지 불변성에서 기인하며, 이는 기존의 딜리클레-노이만 변환 또는 등각 불변성만으로는 기록되지 않는다.
• 새로운 게이지 불변성과 관련되지 않은 비유일성 반례가 존재한다: 서로 다른 등각 요소 $c$ 와 $\tilde{c}$ 는 동일한 부분 DN 맵 $\Lambda_{c^4g, \Gamma_D, \Gamma_N}(\lambda)$ 을 유도하지만, 각각 다른 잠재력 $V = V_{g,c,\lambda}$ 와 $\tilde{V} = V_{g,\tilde{c},\lambda}$ 를 갖는다.
• 경계가 연결되어 있어도 비유일성 결과는 유지된다: 예를 들어 $K$ 가 경계를 갖는 경우 $M = [0,1] \times K$ 를 고려할 때, 경계가 연결되어 있어도 분리된 데이터를 가진 부분 DN 맵에 대해 비유일성 반례가 존재한다.
• 적절한 조건 하에서 $V$ 와 경계 데이터 $\eta$ 에 대해, 하한 및 상한 해 방법을 통해 비선형 딜리클레 문제 $\Delta_g w + (\lambda - V)w - \lambda w^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 에 대한 매끄러운 양수 해의 존재가 $ \lambda = 0$, $ \lambda > 0$, $ \lambda < 0$ 인 경우에 모두 입증된다.