[논문 리뷰] A Symplectic Hamiltonian Derivation of Quasilocal Energy-Momentum for GR

Chiang-Mei Chen, James M. Nester|ArXiv.org|2000. 01. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계항을 포함한 심플렉틱 해밀토니안 접근법을 사용하여 일반 상대성 이론에서 준국소 에너지-운동량을 유도하며, 오직 두 가지 공변 표현—디리클레 및 뉴먼 경계 조건에 해당하는 것—만이 자연스럽게 유도됨을 보여준다. 논문은 아인슈타인 및 멜러의 위상텐서를 물리적으로 타당한 것으로 확인하면서도 그 한계를 드러내며, 잘 정의된 대칭성과 잘 행동하는 심플렉틱 구조를 갖는 완전히 공변적인 해밀토니안을 도출한다. 이는 특정 조건 하에서 카츠의 표현과 일치한다.

ABSTRACT

The various roles of boundary terms in the gravitational Lagrangian and Hamiltonian are explored. A symplectic Hamiltonian-boundary-term approach is ideally suited for a large class of quasilocal energy-momentum expressions for general relativity. This approach provides a physical interpretation for many of the well-known gravitational energy-momentum expressions including all of the pseudotensors, associating each with unique boundary conditions. From this perspective we find that the pseudotensors of Einstein and Møller (which is closely related to Komar's superpotential) are especially natural, but the latter has certain shortcomings. Among the infinite possibilities, we found that there are really only two Hamiltonian-boundary-term quasilocal expressions which correspond to {\em covariant} boundary conditions; they are respectively of the Dirichlet or Neumann type. Our Dirichlet expression coincides with the expression recently obtained by Katz and coworkers using Noether arguments and a fixed background. A modification of their argument yields our Neumann expression.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 준국소 중력 에너지-운동량을 정의하는 데 오랫동안 지속된 모호함을 해결하기 위해.
• 특정 경계 조건과 연결된 물리적으로 의미 있는 준국소 에너지-운동량 표현을 식별하기 위해.
• 일반 상대성 이론에서 오직 두 가지 완전히 공변적인 준국소 표현만 존재하며, 이는 각각 디리클레 및 뉴먼 경계 조건에 해당함을 보여주기 위해.
• 위상텐서 기반 접근법과 경계항을 포함한 해밀토니안 프레임워크를 통합하여 물리적 해석을 제공하고 임의성을 줄이기 위해.
• 완전히 공변적인 해밀토니안 밀도와 경계항을 도출하여 잘 행동하는 심플렉틱 구조를 얻고, 적절한 극한 조건 하에서 알려진 결과와 일치시킴을 보여주기 위해.

제안 방법

• 심플렉틱 해밀토니안 체계를 사용하여 유한한 시공간 영역에 대한 해밀토니안을 유도하며, 경계항이 준국소 에너지-운동량을 결정함을 포함한다.
• 해밀토니안의 변동에서 발생하는 경계항이 관련 경계 조건을 규정하며, 에너지-운동량 표현이 기하학적 제약 조건과 연결됨을 보여준다.
• 미분 형식 방법에 비해 더 넓은 청중에게 접근 가능하도록, 힐베르트 라그랑지안을 사용한 동차 기저(좌표 기저) 공식화를 통해 일반 상대성 이론에 적용한다.
• 해밀토니안의 변동을 분석함으로써 오직 두 가지의 구분되는 경계 조건—디리클레 및 뉴먼—이 존재하며, 이들이 완전히 공변적인 준국소 표현을 유도함을 밝혀낸다.
• 경계에서의 기준 구성(configuration)을 포함하여 카츠 및 코마르의 표현과의 비교를 가능하게 한다.
• 힐베르트 라그랑지안을 사용하고, 코마르 수퍼위상을 개선된 경계항으로 대체하여 점점 잘 행동하는 성질을 확보함으로써 완전히 공변적인 해밀토니안 밀도를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 어떤 준국소 에너지-운동량 표현이 물리적으로 의미가 있으며, 잘 정의된 경계 조건과 대응하는가?
• RQ2 왜 아인슈타인 및 멜러의 위상텐서가 이 프레임워크에서 자연스럽게 나타나며, 그들의 한계는 무엇인가?
• RQ3 위상텐서의 모호함을 피할 수 있는 완전히 공변적인 준국소 에너지-운동량 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 특히 디리클레 및 뉴먼 유형의 경계 조건이 준국소 에너지-운동량의 형태를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 심플렉틱 해밀토니안 접근법은 노이터 정리와 배경에 의존하는 방법을 어떻게 통합하여 중력 에너지에 대한 다양한 접근법을 통합하는가?

주요 결과

• 일반 상대성 이론에서 오직 두 가지 완전히 공변적인 준국소 에너지-운동량 표현만 존재하며, 각각 디리클레 및 뉴먼 경계 조건에 해당한다.
• 이 논문에서 유도된 디리클레 표현은 아인슈타인의 배경 고정 기반 노이터 정리에 의해 도출된 카츠 및 그의 동료들이 얻은 준국소 에너지-운동량 표현과 정확히 일치한다.
• 뉴먼 표현은 카츠의 논증을 수정한 것으로, 해밀토니안-경계항 프레임워크 하에서 서로 다른 접근법 간의 일관성을 보여준다.
• 멜러 위상텐서는 이 프레임워크에서 자연스럽게 나타나지만, 다른 위상텐서들보다 추가적인 단점이 있다.
• 개선된 경계항은 코마르 수퍼위상을 대체하며, 해밀토니안의 변동이 시공간 및 영원한 무한대에서 잘 행동하는 완전히 공변적인 심플렉틱 구조를 유도함을 보장한다.
• 최종 해밀토니안 밀도와 경계항은 완전히 4차원 공변이며, 일정한 이동 벡터를 갖는 경우 표준 표현식 (17), (18), (36), 및 (38)으로 축소된다.