[논문 리뷰] A Tannakian Reconstruction Theorem for IndBanach Spaces

Kobi Kremnizer, Craig Smith|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 16.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수축 쌍대극한과 Ind-완비화를 사용하여, 고전적 Tannaka-Krein 쌍대성을 해석적 환경으로 일반화함으로써, IndBanach 공간에 대한 Tannakian 재구성 정리를 수립한다. 주요 기여는 해석적 양자군, 유계 코homology, Galois 내림내림에 적용 가능한 쌍대성 프레임워크를 제공하는 것으로, 비아르키메데스 해석기하학에서 위상군의 표현과 Iwasawa 대수의 표현에 명시적인 응용을 포함한다.

ABSTRACT

Classically, Tannaka-Krein duality allows us to reconstruct a (co)algebra from its category of representation. In this paper we present an approach that allows us to generalise this theory to the setting of Banach spaces. This leads to several interesting applications in the directions of analytic quantum groups, bounded cohomology and galois cohomology. A large portion of this paper is dedicated to such examples.

연구 동기 및 목표

• Banach 공간에서 고전적 쌍대극한 성질의 실패를 극복하면서, IndBanach 공간의 범주로 Tannaka-Krein 쌍대성을 확장하는 것.
• 해석적 환경에서 표현 범주의 재구성에 기반한 코대수와 이중대수의 재구성 프레임워크를 개발하는 것.
• 위상군의 유계 코homology, 해석적 등급, IndBanach 범주의 Galois 내림내림에 이 이론을 적용하는 것.
• 유도 함자들을 통해 매끄러운 표현과 IndBanach 모듈 사이의 모노이드 동치를 수립하는 것.
• 특히 프로피니트 갈루아 군에 대해, IndBanach 및 보른올로지적 환경에서 Iwasawa 대수를 정의하고 분석하는 것.

제안 방법

• Banach 공간의 범주를 Ind-완비화함으로써 쌍대완비성을 복원하고, 극한 구성이 가능하도록 하는 것.
• Banach 공간 범주에서 수축 쌍대극한을 도입하여, 벡터 공간이 극한에서 가지는 핵심 성질을 복원하는 것.
• IndBanach 모듈과 IndBanach 대수 및 코대수 위의 comodule를 각각 정의하여 표현 범주의 일반화를 이루는 것.
• Barr-Beck의 모나드성 정리(모나드성 정리)를 적용하여 표현 함자들의 코모나드성(코모나드성)을 확립하고, 코모나드를 통한 재구성 가능성을 보장하는 것.
• $\text{Ind}_\phi$ 유도 함자를 $L$-comodule에서 $C^{\text{lu}}(G,k)$-comodule로 구성하고, 비아르키메데스 경우에서 정확성과 충실성(완전 충실성)을 보이는 것.
• Iwasawa 대수 $\Lambda_A^{\text{Born}}(G)$를 열린 정규부분군에 대한 극한으로 정의하고, Hom-함수를 통해 $C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$와의 쌍대성 관계를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Tannaka-Krein 쌍대성은 대수적 환경에서 해석적 환경, 특히 IndBanach 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 위상군의 유계 코homology는 IndBanach 이중대수 위의 comodule를 통해 어떻게 재해석될 수 있는가?
• RQ3 해석적 양자군을 구성하는 데 있어 해석적 등급과 초수렴하는 멱급수의 역할은 무엇인가?
• RQ4 IndBanach 범주의 Galois 내림내림은 Iwasawa 대수 위의 comodule와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Iwasawa 대수는 어떤 의미에서 프로피니트 군 위의 국소적으로 균일하게 연속인 함수 공간과 쌍대적인가?

주요 결과

• 매끄러운 표현의 범주 $\Gamma\text{-Mod}_L^{\text{sm}}$ 는 유도 함자 $V \mapsto L\hat{\otimes}_K V$ 를 통해 $\text{IndBan}_K$ 와 모노이드 동치이다.
• 유도 함자 $\text{Ind}_\phi$ 는 정확하고 충실하며, 비아르키메데스 경우에서는 완전 충실하다. 이는 내림내림 자료의 재구성 가능성을 보장한다.
• Banach Iwasawa 대수 $\Lambda_L^{\text{Ban}}(\Gamma)$ 는 $L$-모듈로서 $C^{\text{lu}}(\Gamma,L)$ 의 쌍대와 동형이다.
• 보른올로지적 Iwasawa 대수 $\Lambda_{L^a}^{\text{Born}}(\Gamma)$ 는 $L^a$-모듈로서 $C^{\text{lc}}(\Gamma,L^a) \cong L^a \otimes_K L^a$ 와 쌍대이다.
• $C^{\text{lu}}(G,k)$-comodule 위의 comodule 구조는 $\Gamma$ 가 $L$ 위에 작용하는 것으로 나타나며, 이 작용은 $K$-IndBanach 공간을 $L$-IndBanach 공간으로부터 재구성하는 데 필요한 내림내림 자료를 제공한다.
• 위상군 $G$ 의 유계 코homology 는 $G\text{-Mod}^{\text{iso}}$ 위의 모노이드 코모나드 함자에서의 코homology 로 표현되며, $G$ 가 컴acts일 경우 이 범주는 IndBanach 이중대수 위의 comodule 의 범주와 동치이다.