[논문 리뷰] A tensor product of representations of UHF algebras arising from Kronecker products

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|2009. 10. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 UHF 대수의 표현에 대한 비대칭 텐서곱을 크로네커 곱을 이용해 정의하고, 곱 상태로부터 유도된 GNS 표현에 대한 텐서곱 공식을 수립한다. 주요 기여는 비어 있는 코모ultip리케이션을 갖는 UHF 대수에서도, 구체적인 유니터리 동치를 구성하고 상태 노름 및 GNS 표현의 독립성을 통해 교환된 텐서곱이 동치가 아니라는 것을 보여, 결과적으로 텐서곱이 비가환적임을 증명하는 데 있다.

ABSTRACT

We introduce a non-symmetric tensor product of representations of UHF algebras by using Kronecker products of matrices. We prove tensor product formulae of GNS representations by product states and show examples.

연구 동기 및 목표

• UHF 대수에서 알려진 코모ultip리케이션이 없기 때문에, 이에 대한 비대칭 표현 텐서곱을 개발하는 것.
• 이전에 쿤츠 및 쿤츠-크리거 대수에 사용된 크로네커 곱 기반 텐서곱 프레임워크를 UHF 대수로 확장하는 것.
• UHF 대수에서 곱 상태와 관련된 GNS 표현에 대한 명시적 텐서곱 공식을 유도하는 것.
• 교환된 텐서곱이 유니터리 동치가 되지 않는 예를 구성하여, 텐서곱의 비가환성을 입증하는 것.

제안 방법

• UHF 대수의 순서가 $\mathbf{N}_{\geq 2}^\infty$ 에 속하는 시퀀스와 관련된 대수들 사이의 일련의 동형사상들을 통해 텐서곱을 정의하며, 행렬의 크로네커 곱을 사용한다.
• 유한 차원 행렬 대수 $M_{a_n}$ 위의 상태들의 무한한 텐서곱으로서, UHF 대수 $\mathcal{A}(\mathbf{a})$ 상의 곱 상태 $\omega_{\mathbf{T}}$ 를 구성한다.
• 각 곱 상태 $\omega_{\mathbf{T}}$ 와 관련된 GNS 표현 $\pi_{\mathbf{T}}$ 를 정의하고, $\mathcal{A}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$ 와 $\mathcal{A}(\mathbf{a}) \otimes \mathcal{A}(\mathbf{b})$ 사이의 특정한 $\varphi$-동형사상을 통해 텐서곱 $\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$ 를 정의한다.
• 텐서곱 대수 위의 상태를 정의하기 위해 밀도 행렬의 크로네커 곱 $T^{(n)} \boxtimes R^{(n)}$ 를 사용한다.
• 유니터리 연산자 $U^{(\mathbf{T},\mathbf{R})}$ 를 통해 구성된 표현 $\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$ 와 텐서곱 $\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$ 사이의 유니터리 동치를 확립한다.
• 상태 노름과 GNS 표현의 독립성을 통해 $\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$ 를 보여, GNS 표현이 독립적임을 입증함으로써 비가환성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코모ultip리케이션이 없는 상황에서도 UHF 대수의 표현에 대해 비대칭 텐서곱을 정의할 수 있는가?
• RQ2 곱 상태와 관련된 GNS 표현은 UHF 대수에서 텐서곱 연산을 거치면 어떻게 행동하는가?
• RQ3 UHF 대수의 GNS 표현 텐서곱은 가환적인가?
• RQ4 크로네커 곱을 이용한 행렬 상태로 명시적 텐서곱 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 텐서곱에 대해 유니터리 동치 클래스의 이분구조는 어떤가?

주요 결과

• 특정 $\varphi$-동형사상에 의한 GNS 표현 $\pi_{\mathbf{T}}$ 와 $\pi_{\mathbf{R}}$ 의 텐서곱은 크로네커 곱 상태를 통해 구성된 표현 $\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$ 와 유니터리 동치이다.
• 텐서곱 $\otimes_\varphi$ 는 비가환적이다: 일부 순수 곱 상태에 대해 $[\pi_{\mathbf{T}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{R}}] \neq [\pi_{\mathbf{R}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{T}}]$ 이다.
• $\mathbf{a} = \mathbf{b} = (2,2,\ldots)$ 이고, $T = \mathrm{diag}(1,0)$, $R = \mathrm{diag}(0,1)$ 일 때, 노름 차이 $\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$ 이며, 이는 GNS 표현이 독립적임을 의미한다.
• 모든 $J \in \{1,\ldots,n\}^\infty$ 에 대해 $\mathbf{T}(J)$ 가 순수 곱 상태에 대응할 경우, $\pi_{\mathbf{T}(J)}$ 는 기약적이다.
• 유니터리 동치 클래스의 이분구조인 $\mathcal{P} = \bigcup_{n \geq 2} \{P_n[J] : J \in \{1,\ldots,n\}^\infty\}$ 는 $\otimes_\varphi$ 에 대해 닫혀 있으며, $P_n[J] \otimes_\varphi P_m[K] = P_{nm}[J \cdot K]$ 를 만족한다.
• 이 구성은 게이지 불변 UHF 부분대수로 제한된 쿤츠 대수의 순열 표현을 일반화하며, UHF 대수 표현 이론에서 '원자'로 간주된다.