[논문 리뷰] A test function method for evolution equations with fractional powers of the Laplace operator

Kazumasa Fujiwara, Marcello D’Abbicco|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 라플라스 연산자와 거듭제곱형 비선형성을 포함하는 고차수 진화방정식에 대해 전 시간에 걸친 해의 존재하지 않음을 입증하기 위한 새로운 시험 함수 방법을 개발한다. 분수 미분에 대해 잘 작동하는 특화된 시험 함수를 구성함으로써, 저자들은 폭발에 대한 날카운 임계 지수를 유도하여 최근의 전역 존재 결과의 최적성과 일치시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss a test function method to obtain nonexistence of global-in-time solutions for higher order evolution equations with fractional derivatives and a power nonlinearity, under a sign condition on the initial data. In order to deal with fractional powers of the Laplace operator, we introduce a suitable test function and a suitable class of weak solutions. The optimality of the nonexistence result provided is guaranteed by both scaling arguments and counterexamples. In particular, our manuscript provides the counterpart of nonexistence for several recent results of global existence of small data solutions to the following problem: \[ \begin{cases} u_{tt} + (-Δ)^θu_t + (-Δ)^σ u = f(u,u_t),& t>0, \ x\in\mathbb R^n,\\ u(0,x)=u_0(x), \ u_t(0,x)=u_1(x) \end{cases} \] with $f=|u|^p$ or $f=|u_t|^p$, where $θ\geq0$ and $σ>0$ are fractional powers.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 시험 함수 방법이 실패하는 경우를 포함하여 분수계수 라플라스 연산자를 갖는 진화방정식에 대해 전역 해의 존재하지 않음 결과가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 작은 자료 해에 대한 최근의 전역 존재 결과와 그에 상응하는 폭발 또는 존재하지 않음 결과의 부재 사이의 격차를 메우기 위해.
• 비정수 라플라스 연산자의 거듭제곱을 포함하는 고차수 방정식에 적용 가능한 강력한 시험 함수 방법을 개발하기 위해.
• 초기 자료의 부호 조건 하에서 전 시간에 걸친 약한 해의 존재하지 않음에 대해 날카운 임계 지수를 확립하기 위해.
• 스케일링 분석과 반례를 통해 존재하지 않음 결과의 최적성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 분수계수 라플라스 연산자의 처리를 위해 특별히 설계된 새로운 시험 함수 클래스를 도입하여, 약한 해 공식화와의 호환성을 보장한다.
• Córdoba와 Córdoba(2003)가 제시한 제곱 함수의 분수 미분에 대한 국소적 추정을 활용하여 고전적 시험 함수 방법을 분수 미분 연산자에 적용한다.
• 분수 미분과 비정수 차수를 수용할 수 있는 적절한 함수 공간 프레임워크 내에서 약한 해를 정의한다.
• L이 분수라플라스 연산자와 시간 미분을 포함하는 일반적인 진화방정식 형식 $ Lu = | abla_t^ u u|^p $ 에 이 방법을 적용한다.
• 스케일링 분석을 통해 임계 지수 $ p_c $ 를 결정하여 존재하지 않음 결과의 날카로움을 확보한다.
• 반례를 구성하고 문헌에 알려진 전역 존재 결과와 비교하여 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 라플라스 연산자를 갖는 진화방정식에 대해 전역 해의 존재하지 않음을 입증하기 위해 시험 함수 방법을 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 분수계수 라플라스 연산자의 거듭제곱을 포함하는 방정식에서 전 시간에 걸친 약한 해의 존재하지 않음에 대한 정확한 임계 지수 $ p_c $ 는 무엇인가?
• RQ3 임계 지수는 분수 차수 $ \sigma_j $, 시간 미분 차수 $ m $, 그리고 공간 차원 $ n $ 에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ4 유도된 존재하지 않음 결과는 최적인가? 이는 스케일링과 반례를 통해 확인할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 혼합된 분수계수 및 정수계수 미분을 포함하는 고차수 연산자로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 방정식 $ u_{tt} + (- abla)^\theta u_t + (- abla)^\sigma u = |u_t|^p $ 에 대해, $ \theta \geq 0 $, $ \sigma > 0 $ 이고 초기 자료가 부호 조건을 만족할 경우 $ p \leq 1 + \frac{2\theta}{n} $ 이면 전 시간에 걸친 약한 해는 존재하지 않는다.
• 방정식 $ u_t + (- abla)^\sigma u = u^p $ 에 대해, $ 1 < p \leq 1 + \frac{2\sigma}{n} $ 이면 존재하지 않음이 성립하며, 이는 임계 지수의 날카로움을 확인한다.
• 조건 $ 2\sigma < n + 2\theta $ 하에서 임계 지수는 $ p_c = 1 + \frac{2\sigma}{n + 2\theta - 2\sigma} $ 로 도출되며, 여기서 $ \theta $ 는 시간 미분의 동차성 매개변수이고 $ \sigma $ 는 분수라플라스 연산자의 효과적 차수이다.
• 고차수 연산자 $ L = \partial_t^m + \sum_{j=0}^{m-1} a_j (-\nabla)^{\sigma_j} \partial_t^j $ 에 대해 이 방법이 일반화되며, 임계 지수는 동차 함수 $ g(\eta) $ 의 최소값에 의해 결정된다.
• 스케일링 분석을 통해 유도된 임계 지수가 날카로움을 확인할 수 있으며, 존재와 폭발의 임계점에서 스케일링 행동이 일치하기 때문이다.
• 분수 연산자의 비국소성에 맞는 적절한 시험 함수의 구성은 고전적 시험 함수 방법을 분수 설정으로 확장할 수 있게 하여 오랫동안 지속된 제약를 해결한다.