[논문 리뷰] A theorem about relative entropy of quantum states with an application to privacy in quantum communication

Rahul Jain, Jaikumar Radhakrishnan외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 양자 부분상태 정리(quantum substate theorem)를 증명한다: 두 양자 상태 ρ와 σ 간의 상대 엔트로피가 작을 경우(S(ρ‖σ) = c), ρ에 대해 유효한(trace distance ≤ ε) 상태 ρ′이 존재하여 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ임을 보여준다. 이 결과는 양자 통신에서의 프라이버시 트레이드오프를 가능하게 하며, 집합 멤버십 문제의 경우, 백이(BoB)가 오직 k비트의 정보만 공개할 경우, 앨리스(Allice)는 적어도 n / 2^{O(k)} 비트의 정보를 공개해야 하며, 이는 양자 프로토콜에서의 정보 泄露에 대한 기본적인 한계를 설정한다.

ABSTRACT

We prove the following theorem about relative entropy of quantum states. "Substate theorem: Let rho and sigma be quantum states in the same Hilbert space with relative entropy S(rho|sigma) = Tr rho (log rho - log sigma) = c. Then for all epsilon > 0, there is a state rho' such that the trace distance ||rho' - rho||_t = Tr sqrt{(rho' - rho)^2} <= epsilon, and rho'/2^{O(c/epsilon^2)} <= sigma." It states that if the relative entropy of rho and sigma is small, then there is a state rho' close to rho, i.e. with small trace distance ||rho' - rho||_t, that when scaled down by a factor 2^{O(c)} `sits inside', or becomes a `substate' of, sigma. This result has several applications in quantum communication complexity and cryptography. Using the substate theorem, we derive a privacy trade-off for the set membership problem in the two-party quantum communication model. Here Alice is given a subset A of [n], Bob an input i in [n], and they need to determine if i in A. "Privacy trade-off for set membership: In any two-party quantum communication protocol for the set membership problem, if Bob reveals only k bits of information about his input, then Alice must reveal at least n/2^{O(k)} bits of information about her input." We also discuss relationships between various information theoretic quantities that arise naturally in the context of the substate theorem.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태의 상대 엔트로피에 관한 기본 정리를 수립하여, 작은 상대 엔트로피가 참조 상태의 부분상태가 되는 가까운 상태의 존재를 보여주는 것.
• 이 정리를 두 당사자 양자 통신 프로토콜에서의 프라이버시 트레이드오프 분석에 적용하여, 특히 집합 멤버십 문제에 대해 적용하는 것.
• 정보 泄露에 대한 정량적 경계를 유도하여, 한 당사자의 통신 비용이 제한될 경우 다른 당사자가 반드시 많은 정보를 공개해야 함을 보여주는 것.
• 고전적 정보이론과 양자 정보이론을 연결하기 위해, 양자 및 고전적 상황에서의 부분상태 정리의 행동을 비교하여 수렴 속도의 차이를 부각하는 것.

제안 방법

• 관측 발산과 순수화 기법을 사용하여 양자 부분상태 정리를 증명함. S(ρ‖σ) = c일 경우, ρ에 대해 유효한(trace distance ≤ ε) 상태 ρ′이 존재하여 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ임을 보여주는 것.
• 밀도 행렬을 더 큰 힐버트 공간으로 확장하기 위해 리프팅 기법을 사용함으로써, 관측 발산에 대한 기존 경계의 적용을 가능하게 함.
• 혼합 상태의 표준 순수화를 포함하는 구성과 함께 순수화를 통한 트레이스 거리 경계를 적용하여, 원하는 부분상태 성질을 달성함.
• 양자 산노 정리의 변형과 트레이스 거리 부등식을 활용하여, ρ′과 ρ 사이의 가까움을 ε과 c에 따라 통제함.
• 라운드 제거 논증과 공유된 랜덤성을 활용하여 다중라운드 프로토콜을 성공 확률이 유계인 단일라운드 프로토콜로 시뮬레이션함으로써, 정보이론적 분석을 가능하게 함.
• 통신 비용과 정보 泄露를 연관지워, 부분상태 정리를 활용하여, 백이가 k비트를 공개할 경우 앨리스가 반드시 공개해야 할 정보의 양을 경계함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S(ρ‖σ) = c일 때, ρ′이 ρ에 대해 유효한 상태이며, ρ′을 2^{O(c/ε²)}로 나누었을 때 σ에 포함되는 상태 ρ′이 존재하는가?
• RQ2 집합 멤버십 문제에 대한 두 당사자 양자 프로토콜에서 통신과 프라이버시 간의 트레이드오프는 어떻게 되는가?
• RQ3 수렴 속도와 정보이론적 함의 측면에서 양자 부분상태 정리는 고전적 대응 정리와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 양자 부분상태 정리에서 ε에 대한 의존성이 고전적 O(1/r) 수준으로 개선될 수 있는가, 즉 O(1/√r)가 아니라 O(1/r)로 개선되는가?
• RQ5 관측 발산 리프팅을 사용하지 않는 양자 부분상태 정리의 대안 증명이 존재하는가?

주요 결과

• 양자 부분상태 정리는 임의의 ε > 0에 대해, S(ρ‖σ) = c일 경우, ρ와 트레이스 거리 ≤ ε인 상태 ρ′이 존재하여 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ임을 보여준다.
• 집합 멤버십 문제의 경우, 백이가 오직 k비트의 정보만 공개할 경우, 앨리스는 적어도 n / 2^{O(k)} 비트의 정보를 공개해야 하며, 이는 강력한 프라이버시 트레이드오프를 설정한다.
• 양자 부분상태 정리에서 ε에 대한 의존성은 O(1/√r)이며, 이는 고전적 O(1/r) 의존성보다 약한 것으로, 수렴 속도의 잠재적 격차를 시사한다.
• 증명은 순수화와 관측 발산 리프팅을 활용하여 상태를 더 큰 힐버트 공간으로 확장하고, 확장된 시스템에서의 상대 엔트로피 경계를 도출한다.
• 부분상태 정리는 σ가 많은 양자 정보 작업에서 2^{-O(c)}의 확률로 ρ를 위장할 수 있음을 의미하며, 이는 상대 엔트로피의 새로운 운영적 해석을 제공한다.
• 결과는 고전적 경우에 대비하여 역방향 유사 문장( converse-like statement)을 가능하게 하지만, ε에 대한 비최적 의존성으로 인해 양자 설정에서는 이러한 역방향이 아직 열려있다.