[논문 리뷰] A theorem of Heine-Stieltjes, the Wronski map, and Bethe vectors in the sl_p Gaudin model

Inna Scherbak|ArXiv.org|2002. 11. 24.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고전적 Heine-Stieltjes 정리를 두 번째 차수 미분방정식의 다항식 해에 대해 일반화하여 $p$-차수 Fuchsian 방정식으로 확장한다. 이는 마스터 함수(워로스키 사상)의 임계점과 복소 다항식의 $p$-차원 부분공간의 그라스만만다이안 내의 쇼버트 다양체 사이의 대응을 수립한다. 주요 결과는 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델의 베테 벡터가 주어진 무게의 특이 벡터 부분공간의 기저를 이룬다는 것이며, 이는 교차 이론과 쇼버트 계산을 통해 증명된다.

ABSTRACT

Heine and Stieltjes in their studies of linear second-order differential equations with polynomial coefficients having a polynomial solution of a preassigned degree, discovered that the roots of such a solution are the coordinates of a critical point of a certain remarkable symmetric function, [He], [St]. Their result can be reformulated in terms of the Schubert calculus as follows: the critical points label the elements of the intersection of certain Schubert varieties in the Grassmannian of two-dimensional subspaces of the space of complex polynomials, [S1]. In a hundred years after the works of Heine and Stieltjes, it was established that the same critical points determine the Bethe vectors in the sl_2 Gaudin model, [G]. Recently it was proved that the Bethe vectors of the sl_2 Gaudin model form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight in the tensor product of irreducible sl_2-representations, [SV]. In the present work we generalize the result of Heine and Stieltjes to linear differential equations of order p>2. The function, which determines elements in the intersection of corresponding Schubert varieties in the Grassmannian of p-dimensional subspaces, turns out to be the very function which appears in the sl_p Gaudin model. In the case when the space of states of the Gaudin model is the tensor product of symmetric powers of the standard sl_p-representation, we prove that the Bethe vectors form a basis of the subspace of singular vectors of a given weight.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수 미분방정식의 다항식 해에 대한 고전적 Heine-Stieltjes 정리를 $p > 2$에 대해 $p$-차수 Fuchsian 방정식으로 일반화하는 것.
• 마스터 함수(워로스키 사상)의 임계점과 복소 다항식의 $p$-차원 부분공간의 그라스만만다이안 내의 쇼버트 다양체 사이의 대응을 수립하는 것.
• $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델의 베테 벡터가 표준 $\mathrm{sl}_p$ 표현의 대칭 거듭제곱의 텐서곱에서 주어진 무게의 특이 벡터 부분공간의 기저를 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 그라스만만다이안에서의 교차 이론을 적용하여 해의 수를 세고 쇼버트 계산을 통해 특이 벡터 부분공간의 차원을 확인하는 것.

제안 방법

• $p$-차수 Fuchsian 미분방정식이 다항식 해를 가지는 문제를 다항식의 $p$-차원 부분공간의 그라스만만다이안 $G_p(\mathrm{Poly}_d)$에서 다루는 것.
• 점 $\tilde{z} \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}$에서의 플래그를 사용하여 $\mathbf{w} = (w_1, \dots, w_p)$로 인덱싱된 쇼버트 다양체 $\Omega_{\mathbf{w}}(\tilde{z})$를 정의하며, 여수는 $|\mathbf{w}| = \sum w_i$이다.
• 해 공간 $V$의 워로스키안 $W_V(x)$를 사용하여 미분방정식의 특이점과 $W_V(x)$의 근 사이의 관계를 설정하며, 중복도는 쇼버트 다양체의 여수와 대응된다.
• 마스터 함수 $\Phi^{0}(\mathbf{t})$를 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델과 관련지어 정의하며, 이 함수의 임계점은 일반화된 Heine-Stieltjes 문제의 해에 대응된다.
• 쇼버트 계산을 적용하여 $0$, $1$, $\infty$에서의 쇼버트 다양체의 교차 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$를 계산하고, 특정한 무게 조건이 성립할 때에만 비어 있지 않음을 보이는 것.
• Reshetikhin와 Varchenko의 $\mathrm{sl}_2$ Gaudin 모델에 관한 결과를 활용하여 비영임계값을 가진 임계 궤도의 수를 유계화하고, 특이 벡터 부분공간의 차원과의 등식을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 차수 미분방정식에 대한 Heine-Stieltjes 정리를 $p > 2$에 대해 $p$-차수 Fuchsian 방정식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $p$-차수 Fuchsian 방정식의 해 공간은 주어진 특이점과 다항식 해를 갖는 경우 기하학적·대수적 구조가 어떻게 되어 있는가?
• RQ3 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델의 마스터 함수의 임계점은 다항식의 $p$-차원 부분공간의 그라스만만다이안 내의 쇼버트 다양체와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 $p$-차수 방정식에 대응하는 쇼버트 다양체의 교차가 유일한 해를 갖는 조건은 무엇이며, 이는 Gaudin 모델과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델의 베테 벡터가 주어진 무게의 특이 벡터 부분공간의 기저를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 Heine-Stieltjes 정리가 $p$-차수 Fuchsian 방정식에 대해 성립한다: 다항식 해가 존재하는 것은 워로스키안의 근이 마스터 함수 $\Phi^0(\mathbf{t})$의 임계점과 대응될 때에만 성립한다.
• $\mathrm{sl}_p$ Gaudin 모델에서 두 개의 위치 $z = (0,1)$을 가질 경우, $\Phi^0(\mathbf{t})$의 비영임계값을 가진 임계 궤도의 수는 최고 무게 $\Lambda_0 = (m_1 + m_2)E - k_1\alpha_1 - \cdots - k_{p-1}\alpha_{p-1}$가 $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$에 나타날 때 정확히 $1$이며, 그 외의 경우 $0$이다.
• $\mathrm{Sym}^{m_1}\mathcal{L} \otimes \mathrm{Sym}^{m_2}\mathcal{L}$에서 무게 $\Lambda_0$의 특이 벡터 부분공간의 차원은 주어진 차수 $d_1, \dots, d_p$를 갖는 일반화된 Heine-Stieltjes 문제의 해의 수와 같다.
• 일반적인 $z = (z_1, \dots, z_n)$에 대해, 식 (25)–(26) 형태의 $p$-차수 미분방정식이 다항식 해를 가지는 경우의 수는 $\dim \mathrm{Sing}_{\mathbf{k}} \mathcal{L}^{\otimes m}$과 같으며, 여기서 $\mathbf{k}$는 $k_i = d_1 + \cdots + d_{p-i} + (n-1)\frac{(p-i)(p-i-1)}{2}$로 정의된다.
• 마스터 함수 $\Phi^0(\mathbf{t})$의 비퇴화 임계 궤도 각각은 서로 다른 영이 아닌 베테 벡터에 대응하며, 이러한 모든 벡터는 주어진 무게의 특이 벡터 부분공간의 기저를 이룬다.
• 해 공간이 비퇴화된 $p$-평면이 되는 것은 교차 $\mathcal{I}_{\{(m_1,m_2),\mathbf{d}\}}(0,1)$가 비어 있지 않을 때 성립하며, 이는 해의 기하학적 실현 가능성의 확인이다.