[논문 리뷰] A theory for Fluctuations in Stock Prices and Valuation of their Options

Gemunu H. Gunaratne, Joseph L. McCauley|ArXiv.org|2002. 09. 19.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위치 및 시간에 따라 변화하는 산란 계수를 가진 포크너-플랭크 방정식을 기반으로 한 새로운 옵션 가격 정립 이론을 제안하며, 수익률의 비대칭 지수 분포를 이끌어내고 시장에서 관찰되는 변동성 미소를 설명한다. 이 모델은 큰 가격 변동에 따른 높은 변동성으로 인해 블랙-숄즈 가격 정립에서 효과적인 변동성 조정이 자연스럽게 유도됨을 보여주어 변동성 미소를 설명한다.

ABSTRACT

A new theory for pricing options of a stock is presented. It is based on the assumption that while successive variations in return are uncorrelated, the frequency with which a stock is traded depends on the value of the return. The solution to the Fokker-Planck equation is shown to be an asymmetric exponential distribution, similar to those observed in intra-day currency markets. The "volatility smile," used by traders to correct the Black-Scholes pricing is shown to provide an alternative mechanism to implement the new options pricing formulae derived from our theory.

연구 동기 및 목표

• 금융 시장에서 관찰되는 비정규 수익률 분포를 고려한 옵션 가격 정립의 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 로그정규 수익률과 일정한 변동성을 가정하는 블랙-숄즈 모델의 한계를 극복하기 위해 경험적으로 관찰된 수익률 역학을 통합하는 것.
• 옵션 시장에서 관찰되는 '변동성 미소' 현상을 수시로 수정하는 수단으로서의 보정이 아니라, 더 현실적인 확률 과정의 자연스러운 결과로 설명하는 것.
• 비선형 산란 계수를 가진 포크너-플랭크 방정식의 해를 유도하여 주식 수익률의 비대칭 변동을 캐치하는 것.
• 시장에서 실사용되는 효과적 변동성(변동성 미소)이 제안된 모델의 수익률 기반 분포에서 유도될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속적인 수익률 변화는 상관이 없지만 산란 계수 D(x,t)가 수익률 값 x와 시간 t에 따라 달라지며, 큰 가격 변동 시 거래 빈도가 증가하는 것을 모델링한다.
• 스케일링 가정 W(x,t) = t^{-η} F(u) 를 사용하며, u = x/t^η 를 통해 포크너-플랭크 방정식으로부터 η = 1/2 를 유도한다. 이는 금융 시계열에서 관측된 스케일링과 일치한다.
• 산란 계수를 u의 조각선형 함수로 모델링: D(x,t) = (1/γ²)(1 - γu)Θ̄(u) + (1/ν²)(1 + νu)Θ(u) 로 표현하며, γ ≠ ν 를 통해 비대칭성을 도입한다.
• 해결된 포크너-플랭크 방정식으로부터 W(x,t) = A/(√t) e^{γu} Θ̄(u) + B/(√t) e^{-νu} Θ(u) 의 해를 도출하며, A와 B는 정규화 및 연속성 조건에 의해 결정된다.
• 이 분포 하에서 유럽 콜 및 풋 옵션 가격에 대한 명시적 표현을 유도하여, 이들이 블랙-숄즈 예측과 다름을 보임을 보여준다.
• 실제 시장 데이터에서 관찰되는 '변동성 미소'가 모델의 예측 옵션 가격과 일치하는 효과적 변동성 조정으로 해석될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규적이며 비대칭적인 주식 수익률 분포를 상관 없는 증분을 유지하는 확률적 프레임워크 내에서 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 실제로 관측된 내일 수익률의 비대칭 지수 분포를 유도하기 위해 산란 계수는 어떤 형태여야 하는가?
• RQ3 옵션 가격 정립에서 흔히 히우리스틱 보정으로 사용되는 변동성 미소는 어느 정도의 물리적으로 일관된 확률 과정에서 도출될 수 있는가?
• RQ4 공동 인식 가격 S₀ 를 최소 변동성 지점으로 포함함으로써, 블랙-숄즈 모델과 비교해 옵션의 역학과 가격 정립은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 산란 계수의 고차항 보정(예: 2차 항)은 수익률 분포의 꼬리 행동과 옵션 평가에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비선형 산란 계수를 가진 포크너-플랭크 방정식의 해는 내부적으로 관측된 내일 환율 및 채권 시장의 비대칭 지수 분포와 일치하는 수익률 분포를 도출한다.
• 이 모델은 수익률의 큰 이격이 가우시안 모델보다 더 자주 발생함을 예측하며, 이는 블랙-숄즈 예측보다 높은 옵션 가격을 초래한다.
• 모델의 옵션 가격과 일치시키기 위해 필요한 효과적 변동성은 실제로 시장 데이터에서 관찰되는 변동성 미소 곡선을 생성한다.
• γ = 15.0 및 ν = 10.0 일 때, 수익률 분포의 연간 변동성은 11.5%이며, 이에 따른 효과적 변동성 곡선(V_eff(K)) 은 관측된 시장의 변동성 미소와 매우 유사하다.
• 이 모델은 공통 인식 가격 S₀ 가 산란 계수의 최소점이 되며, 이는 수익률 계산의 자연스러운 기준점이 된다는 것을 보여준다.
• 산란 계수의 고차항 보정(예: 2차 항)은 분포의 꼬리에 거듭제곱 법칙 꼬리(푸아송 꼬리)를 유도하며, 이는 일일 수익률에서 관측되는 두꺼운 꼬리 행동과 일치한다.