[논문 리뷰] A Theory of Mesoscopic Phenomena: Time Scales, Emergent Unpredictability, Symmetry Breaking and Dynamics Across Different Levels

Ping Ao, Hong Qian외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 21.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 스토하스틱한 빠른 동역학, 비선형 중간 수준의 동역학, 그리고 크라머스 이론에 의해 지배되는 희귀한 앙상블 간 전이를 통합하는 미시적 동역학의 수학적 프레임워크를 제안한다. 대칭성 붕괴, 분기, 상전이를 통합함으로써, 메조스코픽 시스템이 결정론적이지도 않고 순수하게 마르코프적지도 않은, 시간과 시스템 크기 척도에 따라 계층적으로 구조화된 동역학을 보이며, 앙상블 간 이산적인 스토하스틱적 점프를 나타낸다.

ABSTRACT

Integrating symmetry breaking originally advanced by Anderson, bifurcation from nonlinear dynamical systems, Landau's phenomenological theory of phase transition, and the mechanism of emergent rare events first studied by Kramers, we propose a mathematical representation for mesoscopic dynamics which links fast motions below (microscopic), movements within each discrete state (intra-basin-of-attraction) at the middle, and slow inter-attractor transitions with rates exponentially dependent upon the size of the system. The theory represents the fast dynamics by a stochastic process and the mid-level by a nonlinear dynamics. Multiple attractors arise as emergent properties. The interplay between the stochastic element and nonlinearity, the essence of Kramers' theory, leads to successive jump-like transitions among different basins. We describe each transition as a dynamic symmetry breaking exhibiting Thom-Zeeman catastrophe and phase transition with the breakdown of ergodicity (differentiation). The dynamics of a nonlinear mesoscopic system is not deterministic, rather it is a discrete stochastic jump process. Both the Markov transitions and the very discrete states are emergent phenomena. This emergent inter-attractor stochastic dynamics then serves as the stochastic element for the nonlinear dynamics of a level higher (aggregates) on an even larger spatial and longer time scales (evolution). The mathematical theory captures the hierarchical structure outlined by Anderson and articulates two types of limit of a mesoscopic dynamics: A long-time ensemble thermodynamics in terms of time t, followed by the size of the system N, tending infinity, and a short-time trajectory steady state with N tending infinity followed by t tending infinity. With these limits, symmetry breaking and cusp catastrophe are two perspectives of a same mesoscopic system on different time scales.

연구 동기 및 목표

• 미시적 및 거시적 척도 사이를 연결하는 메조스코픽 동역학을 수학적으로 기술하는 이론을 개발하기 위해.
• 비선형성과 스토하스틱성의 상호작용으로부터 기인하는 이질적 스토하스틱적 점프, 대칭성 붕괴와 같은 탄생 현상이 어떻게 발생하는지 설명하기 위해.
• 메조스코픽 시스템의 계층적 구조를 정형화하여, 메조스코픽 동역학이 고차원 시스템의 스토하스틱 입력 역할을 함을 명시하기 위해.
• 열역학적 및 궤적 안정 상태를 정의하는 데 있어서 시간과 시스템 크기의 이중적 극한을 명확히 하여, 대칭성 붕괴와 쌍극 카오스터로피가 이중적 관점임을 드러내기 위해.
• 앤더슨의 탄생 이론, 랑도의 상전이 이론, 크라머스의 희귀 사건 이론을 통합하여 일관된 메조스코픽 프레임워크를 구축하기 위해.

제안 방법

• 빠른 미시적 운동을 스토하스틱 과정으로 모델링하여, 앙상블 내부의 동역학을 표현한다.
• 각 앙상블의 내부에서 비선형 동역학을 통해 중간 수준의 동역학을 표현함으로써, 다수의 탄생 앙상블을 이끌어낸다.
• 크라머스 이론을 적용하여 앙상블 간 희귀한 점프 유형 전이를 기술하며, 전이 확률이 시스템 크기 N에 따라 지수적으로 의존함을 나타낸다.
• 앙상블 간 전이를 동적 대칭성 붕괴 사건으로 특성화하며, 톰-지먼 카오스터로피와 비ergodic성의 상전이와 연결한다.
• 두 가지 별개의 극한을 정의한다: (1) t → ∞ 이후에 N → ∞ (집단 열역학), (2) N → ∞ 이후에 t → ∞ (궤적 안정 상태)로, 대칭성 붕괴에 대한 이중적 관점을 드러낸다.
• 비선형성과 스토하스틱성의 상호작용을 통해 탄생하는 마르코프 전이와 이산 상태를 고차원 현상으로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메조스코픽 동역학은 시간과 시스템 크기 척도에 걸쳐 스토하스틱 과정과 비선형 과정의 계층적 구조로 어떻게 수학적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 메조스코픽 시스템에서 앙상블 간 이질적 스토하스틱적 점프의 기원은 무엇인가?
• RQ3 다른 시간과 시스템 크기 극한 조건 하에서 대칭성 붕괴와 쌍극 카오스터로피가 어떻게 이중적 관점으로 나타나는가?
• RQ4 마르코프 전이와 이산 상태 자체가 메조스코픽 프레임워크에서 어떻게 탄생 현상이 되는가?
• RQ5 비선형성과 스토하스틱성의 상호작용은 메조스코픽 시스템에서 어떻게 상전이와 비ergodic성의 붕괴를 유도하는가?

주요 결과

• 메조스코픽 동역학은 결정론적이지 않으며, 희귀한 사건에 의해 유도되는 탄생 앙상블 간 이산적인 스토하스틱적 점프 과정이다.
• 마르코프 전이와 이산 상태 양측 모두 비선형성과 빠른 스토하스틱 동역학 간의 상호작용에서 기인한 탄생 현상이다.
• 앙상블 간 전이는 크라머스 메커니즘에 의해 지배되며, 전이 확률이 시스템 크기 N에 따라 지수적으로 의존하여, 큰 척도에서 느린 동역학을 초래한다.
• 대칭성 붕괴와 쌍극 카오스터로피는 동일한 시스템의 두 관점이다: 하나는 장기적 집단 극한에서, 다른 하나는 단기 궤적 극한에서 관찰된다.
• 이 이론은 메조스코픽 동역학이 고차원 시스템의 스토하스틱 입력 역할을 함으로써, 더 큰 공간적 및 시간적 척도에서의 진화를 가능하게 하는 계층적 구조를 수립한다.
• t → ∞ 이후 N → ∞, 그리고 N → ∞ 이후 t → ∞의 이중 극한은 대칭성 붕괴와 쌍극 카오스터로피가 서로 다른 스케일링 영역에서 메조스코픽 행동의 등가적 기술임을 드러낸다.