[논문 리뷰] A theory of tensor products for vertex operator algebra satsifying C_2-cofiniteness

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|2003. 09. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 유니터리 연산자 대수(VOA)에 대한 텐서곱 이론을 더 약한 $C_2$-cofiniteness 조건 하에서 개발하며, $L(0)$-grading 연산자의 유리성 또는 반단순성 조건을 요구하지 않는다. 아르틴 모듈러스—유한 조합 계열을 갖는 약한 모듈러스—를 도입하고, 이러한 모듈러스의 범주가 브라우드 텐서 범주를 이룬다는 것을 증명함으로써 허난-레포우스키 이론의 자연스러운 확장이 가능하다. 핵심 결과는 $C_2$-cofiniteness 조건이 아르틴 모듈러스의 텐서곱이 다시 아르틴 모듈러스가 되게 하며, 자연스러운 결합법칙과 교환법칙을 만족시킨다는 것이다.

ABSTRACT

We reformed the tensor product theory of vertex operator algebras developed by Huang and Lepowsky so that we could apply it to all vertex operator algebras satisfying C_2-cofiniteness. We also showed that the tensor product theory develops naturally if we include not only ordinary modules, but also weak modules with a composition series of finite length (we call it an Artin module). In particular, we don't assume the semisimplicity of the weight operator L(0). Actually, without the assumption of rationality, a C_2-cofiniteness on V is enough to obtain the existence of a tensor product of two Artin modules and natural associativity of tensor products. Namely, the category of Artin modules becomes a braided tensor category. As an application of the tensor product theory under C_2-cofiniteness, we proved the rationality of some orbifold models. For example, if a vertex operator algebra V has a finite automorphism group and the fixed point vertex operator subalgebra V^G is C_2-cofinite, then for any irreducible V^{}-module W, there is an element h\in such that W is contained in some h-twisted V-module. Furthermore, if V^G is rational, then V^{} is also rational for any g\in G.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 연산자 대수에 대한 허난-레포우스키 텐서곱 이론을 유리성과 $L(0)$-반단순성 조건의 엄격한 가정을 벗어나 확장하기 위해.
• $C_2$-cofiniteness 조건만으로도 더 넓은 범위의 모듈러스에 대해 텐서곱의 존재성과 자연스러움을 보장할 수 있음을 보이기 위해.
• 유한 조합 계열을 갖는 약한 모듈러스인 아르틴 모듈러스를 도입하고, 이들이 텐서 범주 내에서 자연스러운 대상임을 정당화하기 위해.
• 개발된 이론을 활용하여, 특히 고정점 부분대수에서의 유리성과 모듈러스 포함성 결과를 증명하기 위해.
• 완전 가역성을 사전에 가정하지 않고도 $C_2$-cofiniteness 조건 하에서 오르비폭 VOA의 표현 이론을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 모듈러스를 일반화하기 위해, 유한 조합 계열을 갖는 약한 $V$-모듈러스로 아르틴 모듈러스를 정의한다.
• 상호작용 연산자와 $C_2$-cofiniteness 조건을 사용하여 아르틴 모듈러스 $W_1, W_2$에 대한 $\lambda$-twisted 텐서곱 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$를 구성한다.
• 텐서곱 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$가 다시 아르틴 모듈러스임을 증명함으로써, 텐서곱 연산에 대한 닫힘성을 확보한다.
• $P(\lambda)$-텐서곱의 보편 성질을 사용하여 교환법칙과 결합법칙에 대한 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• $L(0)$-라디칼 $J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$를 일반적인 $P(\lambda)$-텐서곱과 연결함으로써, 새로운 구성이 고전 이론과의 연관성을 지닌다.
• 오르비폭 VOA에 이론을 적용하기 위해 $G$-twisted 모듈러스를 분석하고, $V$와 $V^G$의 $G$-불변 구조를 활용하며, $C_2$-cofiniteness 조건을 이용해 $V^{\langle g \rangle}$의 유리성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니터리 연산자 대수에 대해 $C_2$-cofiniteness 조건 하에서, 유리성 또는 $L(0)$-반단순성 조건을 가정하지 않고도 텐서곱 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 유한 조합 계열을 갖는 약한 모듈러스인 아르틴 모듈러스는 텐서곱 연산 하에서 닫혀 있고 잘 다뤄지는 범주를 이룰 수 있는가?
• RQ3 두 아르틴 모듈러스의 텐서곱은 다시 아르틴 모듈러스인가? 그리고 자연스러운 결합법칙과 교환법칙 동형사상도 만족하는가?
• RQ4 $C_2$-cofiniteness 조건이 고정점 부분대수 $V^G$에 대해 성립할 때, $g \in G$에 대해 $V^{\langle g \rangle}$의 유리성이 보장되는가?
• RQ5 $V^G$가 $C_2$-cofinite일 때, 모든 임의의 $V^{\langle g \rangle}$-모듈러스가 어떤 $h \in \langle g \rangle$에 대한 $h$-twisted $V$-모듈러스의 부분모듈러스로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• $C_2$-cofinite한 유니터리 연산자 대수 $V$에 대해, 두 아르틴 $V$-모듈러스 $W_1$과 $W_2$의 텐서곱 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$는 존재하며, 동형사상에 대해 유일하게 결정된다.
• 텐서곱 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2$는 다시 아르틴 모듈러스이며, 이는 텐서곱 연산에 대한 범주 닫힘성을 보장한다.
• 아르틴 $V$-모듈러스의 범주는 자연스러운 교환법칙과 결합법칙 동형사상을 지니며, 브라우드 텐서 범주를 이룬다.
• 몫 $W_1 \boxtimes_\lambda W_2 / J_{L(0)}(W_1 \boxtimes_\lambda W_2)$는 $P(\lambda)$-텐서곱과 동형이며, 이는 새로운 이론이 고전적 허난-레포우스키 결과와 연결됨을 보여준다.
• $V^G$가 $C_2$-cofinite하고 유리성 조건을 만족하면, 모든 $g \in G$에 대해 $V^{\langle g \rangle}$는 유리적이며, 모든 임의의 $V^{\langle g \rangle}$-모듈러스는 어떤 $h \in \langle g \rangle$에 대한 $h$-twisted $V$-모듈러스의 부분모듈러스로 포함된다.
• 격자 VOA $V_L$에 대한 오르비폭 모델 $(V_L)^+$는 $V_{\mathbb{Z}a}^+$가 랭크 1 격자에서 유리적일 경우, $V^G$의 $C_2$-cofiniteness 조건을 통해 이는 유리적임을 보였다.