[논문 리뷰] A theory of turbulence based on scale relativity

Louis de Montera|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 14.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스케일 상대성 이론을 사용하여 난류 이론을 제안하며, 유체역학을 미분 가능하지 않고 프랙탈 속도 공간에서 재구성한다. 미분 가능성 조건을 완화함으로써, 프랙탈 및 비프랙탈 성분을 가진 속도 방정식을 도출하며, 이 프랙탈 성분이 난류의 코모고로프 법칙과 일치하고 실험 결과와 일치하는 에너지 소산률을 예측한다. 전이점은 레이놀즈 수 ≈ 1에서 발생한다.

ABSTRACT

The internal interactions of fluids occur at all scales therefore the resulting force fields have no reason to be smooth and differentiable. The release of the differentiability hypothesis has important mathematical consequences, like scale dependence and the use of a higher algebra. The law of mechanics transfers directly these properties to the velocity of fluid particles whose trajectories in velocity space become fractal and non-deterministic. The principle of relativity is used to find the form of the equation governing velocity in scale space. The solution of this equation contains a fractal and a non-fractal term. The fractal part is shown to be equivalent to the Lagrangian version of the Kolmogorov law of fully-developed and isotropic turbulence. It is therefore associated with turbulence, whereas the non-fractal deterministic term is associated with a laminar behavior. These terms are found to be balanced when the typical velocity reaches a level at which the Reynolds number is equal to one, in agreement with the empirical observations. The rate of energy dissipated by turbulence in a flow passing an obstacle that was only known from experiments can be derived theoretically from the equation's solution. Finally, a quantum-like equation in velocity space is proposed in order to find the probability of having a given velocity at a given location. It may eventually explain the presence of large scale coherent structures in geophysical turbulent flows, like jet-streams.

연구 동기 및 목표

• 유체역학에서 미분 가능성 조건을 완화함으로써 다중스케일 상호작용을 고려하는 난류 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 비미분 가능하고 프랙탈 궤적을 가진 속도 공간에서 난류 거동의 기원을 설명하는 것.
• 스케일 상대성 원리를 사용하여 제1원리에서 코모고로프 스케일 법칙을 유도하는 것.
• 레이놀즈 수가 1에 도달할 때 난류와 난류가 아닌 흐름 사이의 전이점이 발생함을 규명하는 것.
• 속도 공간에서 양자 유사 방정식을 제안하여 속도 확률 분포를 모델링함으로써 지구물리학적 흐름에서의 대규모 공명 구조를 설명할 수 있는지 제안하는 것.

제안 방법

• 이론은 스케일 상대성 프레임워크에서 상대성 원리를 적용하며, 속도 공간이 비미분 가능하고 프랙탈 다양체가 되도록 한다.
• 스케일 공간에서 스케일에 의존하는 효과와 고차원 대수적 구조를 포함하는 새로운 운동 방정식을 유도한다.
• 이 방정식의 해는 두 항으로 구성되며, 프랙탈 성분과 비프랙탈 결정론적 성분이다.
• 프랙탈 항은 분석적으로 코모고로프의 1941년 난류 법칙의 라그랑주 형태를 재현함을 보여준다.
• 프랙탈 항과 비프랙탈 항의 균형은 레이놀즈 수에 의해 결정되며, 전이점은 Re ≈ 1에서 발생한다.
• 속도 공간에 양자 유사 방정식을 도입하여 속도의 확률 분포를 기술한다. 이는 슈뢰딩거 방정식과 유사하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유체 궤적의 미분 가능성 조건을 완화하는 기본 원리에서 난류를 유도할 수 있는가?
• RQ2 속도 공간의 프랙탈 구조가 완전히 발달한 난류의 코모고로프 스케일 법칙을 자연스럽게 유도하는가?
• RQ3 이 프레임워크에서 난류로의 전이가 발생하는 레이놀즈 수는 얼마인가?
• RQ4 스케일 상대성 방정식으로부터 난류 흐름에서의 에너지 소산률을 이론적으로 도출할 수 있는가?
• RQ5 속도 공간에서의 속도 확률 분포는 제트 기류와 같은 대규모 공명 구조의 형성에 설명을 줄 수 있는가?

주요 결과

• 속도 해의 프랙탈 성분은 코모고로프의 1941년 난류 법칙의 라그랑주 형태와 일치하여 난류에 대한 물리적 관련성을 확인한다.
• 비프랙탈 성분은 난류가 아닌 결정론적 유체 흐름을 나타내며, 두 흐름 제도를 통합적으로 기술한다.
• 레이놀즈 수가 1에 도달할 때 프랙탈 항과 비프랙탈 항의 균형이 정확히 발생하며, 이는 경험적 관측과 일치한다.
• 이론적 유도 결과로 난류 흐름이 장애물을 통과할 때의 에너지 소산률이 실험 값과 일치한다.
• 속도 공간에 양자 유사 방정식을 제안하여 지구물리학적 난류에서의 대규모 공명 구조의 기원에 대한 잠재적 설명을 제공한다.