[논문 리뷰] A three point formula for finding roots of equations by the method of least squares

Ababu Teklemariam Tiruneh, N. Ndlela외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 08.

Iterative Methods for Nonlinear Equations참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한한 미분 계산 없이도, 최소 제곱법을 사용해 세 개의 등간격 점을 통해 거듭 제곱 함수 P(x) = a(x−b)^N를 피팅하는 유도 없는 반복적 근 구하기 방법을 제안한다. 이 방법은 근의 추정치를 반복적으로 개선하며, 뉴턴 방법과 유사한 2차 수렴 속도를 달성한다. 일부 경우에서 뉴턴 및 세컨드 방법보다 더 빠른 수렴과 더불어 뛰어난 안정성을 보였다.

ABSTRACT

A new method of root finding is formulated that uses a numerical iterative process involving three points. A given function y = f(x) whose roots are desired is fitted and approximated by a polynomial function of the form P(x)= a(x-b)^N that passes between three equi-spaced points using the method of least squares. Successive iterations using the same procedure of curve fitting is used to locate the root within a given level of tolerance. The power N of the curve suitable for a given function form can be appropriately varied at each step of the iteration to give a faster rate of convergence and avoid cases where oscillation, divergence or off shooting to an invalid domain may be encountered. An estimate of the rate of convergence is provided. It is shown that the method has a quadratic convergence similar to that of Newton's method. Examples are provided showing the procedure as well as comparison of the rate of convergence with the secant and Newton methods. The method does not require evaluation of function derivatives.

연구 동기 및 목표

• 비선형 방정식을 해결하기 위한 도함수 없는 반복적 방법을 개발하기.
• 각 반복 단계에서 피팅된 다항식의 거듭 제곱 지수 N을 적응적으로 조정하여 수렴 속도와 안정성을 향상시키기.
• 뉴턴-랩슨 방법과 같은传통적 방법에서 흔히 발생하는 발산 또는 진동 문제를 피하기.
• 도함수 계산이 필요 없는 뉴턴 및 세컨드 방법의 강력한 대안을 제공하기.
• 수치 예제와 비교를 통해 2차 수렴 행동을 실험적으로 입증하기.

제안 방법

• 함수 f(x) 상의 세 개의 등간격 점을 선택하여 최소 제곱법을 사용해 거듭 제곱 함수 P(x) = a(x−b)^N를 피팅한다.
• 피팅된 다항식을 사용해 P(x) = 0을 풀어 근을 추정하고, 새로운 반복값을 도출한다.
• 함수의 국소적 특성에 따라 각 반복 단계에서 지수 N을 적응적으로 조정하여 수렴을 향상시킨다.
• 근이 지정된 정확도 이내로 수렴할 때까지 반복 과정을 반복한다.
• 각 반복 단계에서 세 점의 함수 값만을 기반으로 도함수 계산을 완전히 회피한다.
• 수렴 여부는 연속된 반복값 간의 차이와 잔차를 점검하여 모니터링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 점에 대한 최소 제곱 피팅을 통해 거듭 제곱 함수를 사용할 경우, 도함수 계산 없이도 2차 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 피팅된 지수 N의 적응적 선택이 수렴 속도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 실제 적용 사례에서 이 방법이 뉴턴 방법 및 세컨드 방법의 수렴 속도를 뛰어나거나 동등하게 유지하는가?
• RQ4 이 방법이 발산 또는 진동을 피하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 곡률이나 비선형성이 다양하게 변하는 함수에 대해 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 수치 실험을 통해 이 방법이 뉴턴 방법과 동일한 2차 수렴 속도를 확보함을 확인하였다.
• 지수 N를 적응적으로 조정할 경우, 함수가 매우 비선형일 때에도 수렴 속도가 유지됨을 확인하였다.
• 초기 추정치가 불량하거나 도함수가 0인 경우에 뉴턴 방법이 실패하는 상황에서도 이 방법은 발산이나 진동을 피함을 입증하였다.
• 시험된 예제들에서 이 방법은 세컨드 방법보다 더 빠른 수렴을 보였고, 도함수 계산 없이도 뉴턴 방법과 유사한 성능을 보였다.
• 거듭 제곱 함수에 대한 최소 제곱 피팅은 해에 가까운 지역에서 근을 추정하는 행동을 안정적이고 정확하게 근사한다.
• 복잡한 곡률 또는 다중 근을 포함한 다양한 시험 함수에 대해 이 방법은 뛰어난 강건성을 보였다.