[논문 리뷰] A Tight Approximation for Co-flow Scheduling for Minimizing Total Weighted Completion Time

Sungjin Im, Manish Purohit|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 13.

Optimization and Search Problems참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 총 가중 완료 시간을 최소화하기 위한 co-flow 스케줄링 문제에 대해 (2 + ϵ)-근사 알고리즘을 제안하며, 정수 라운딩 단계의 결함에도 불구하고 거의 날카로운 성능를 달성한다. 구성 선형계획법(LP)을 사용하여 연속 시간 스케줄을 유도하고, 완료 시간을 마감시간으로 해석하여 문제를 마감시간 제약이 있는 스케줄링 문제로 환원한다. 비균일한 용량과 도착 시간을 고려한 확장도 근사 보장을 유지한다.

ABSTRACT

Co-flows model a modern scheduling setting that is commonly found in a variety of applications in distributed and cloud computing. In co-flow scheduling, there are $m$ input ports and $m$ output ports. Each co-flow $j \in J$ can be represented by a bipartite graph between the input and output ports, where each edge $(i,o)$ with demand $d_{i,o}^j$ means that $d_{i,o}^j$ units of packets must be delivered from port $i$ to port $o$. To complete co-flow $j$, we must satisfy all of its demands. Due to capacity constraints, a port can only transmit (or receive) one unit of data in unit time. A feasible schedule at each time $t$ must therefore be a bipartite matching. We consider co-flow scheduling and seek to optimize the popular objective of total weighted completion time. Our main result is a $(2+ε)$-approximation for this problem, which is essentially tight, as the problem is hard to approximate within a factor of $(2 - ε)$. This improves upon the previous best known 4-approximation. Further, our result holds even when jobs have release times without any loss in the approximation guarantee. The key idea of our approach is to construct a continuous-time schedule using a configuration linear program and interpret each job's completion time therein as the job's deadline. The continuous-time schedule serves as a witness schedule meeting the discovered deadlines, which allows us to reduce the problem to a deadline-constrained scheduling problem. * This result is flawed; see the first page for the details.

연구 동기 및 목표

• co-flow 스케줄링 문제에서 총 가중 완료 시간을 최소화할 때, 가장 잘 알려진 근사 비율과 근사 불가능성 한계 사이의 격차를 좁히기.
• 작업이 임의의 도착 시간을 가질 수 있는 경우에도 거의 최적의 근사 비율을 달성하는 프레임워크를 개발하기.
• 동일한 근사 보장을 유지하면서 비균일한 포트 용량을 처리할 수 있도록 접근법을 확장하기.
• 연속 시간 LP 타월화를 통해 co-flow 스케줄링 문제를 마감시간 제약이 있는 스케줄링 문제로 깔끔하게 환원하는 것.
• 정수 라운딩 단계의 결함이 있음에도 불구하고 향후 4-근사 이하의 알고리즘을 유도할 수 있는 기초를 제공하기.

제안 방법

• 가능한 스케줄을 정수 매칭의 볼록 조합으로 모델링하기 위해 구성 선형계획법(LP)을 사용하여 co-flow 스케줄링 문제를 수식화한다.
• LP 해로부터 연속 시간 스케줄을 구성하고, 각 작업의 LP 상 완료 시간을 마감시간으로 해석한다.
• 이중 LP의 타당성을 보장하기 위해 최소비용 유량 기반의 분리 오ракูล을 사용하여 문제를 해결한다.
• 연속 시간 스케줄을 늘어난 스케줄로 변환하기 위해 무작위 라운딩 단계를 적용하며, 늘림 정도를 제어하는 매개변수 λ ∈ (0,1]를 사용한다.
• 역단계 값에 대한 조각별 선형 비용 함수를 최소화하여 λ의 선택을 결정론적으로 처리함으로써 다항 시간 계산이 가능하게 한다.
• 정점 분할과 Birkhoff–von Neumann 분해를 통해 분수 매칭을 유한 차수의 부분그래프로 분해함으로써 비균일 용량에 대한 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 가중 완료 시간을 최소화하는 co-flow 스케줄링 문제에 대해 (2 + ϵ)-근사가 달성 가능한가? 이는 알려진 2 − ϵ 근사 불가능성 하한에 근접하는가?
• RQ2 제안된 접근법이 작업이 임의의 도착 시간을 가질 경우에도 근사 보장을 유지하는가?
• RQ3 프레임워크는 근사 비율이 떨어지지 않게 비균일한 포트 용량을 처리할 수 있도록 적응 가능한가?
• RQ4 연속 시간 LP 타월화 접근법은 co-flow 스케줄링 문제를 마감시간 제약이 있는 스케줄링 문제로 환원하는 데 유용한가?
• RQ5 결함이 있는 정수 라운딩 단계는 보다 효과적인 대체 방법으로 대체 가능하여 4-근사 이하의 성능를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 총 가중 완료 시간을 최소화하는 co-flow 스케줄링 문제에 대해 (2 + ϵ)-근사 비율을 달성하며, 이는 2 − ϵ 근사 불가능성 하한을 고려할 때 거의 날카로운 결과이다.
• 작업이 임의의 도착 시간을 가질 경우에도 근사 보증이 유지되며, 모든 작업이 시간 0에 도착하는 특수 케이스와 동일한 성능를 보인다.
• 정점 분할과 Birkhoff–von Neumann 분해를 통해 비균일한 포트 용량을 처리할 수 있으며, 동일한 (2 + ϵ)-근사 비율을 유지한다.
• 구성 LP로부터 유도된 연속 시간 스케줄은 마감시간을 나타내는 증거로 기능하여, 마감시간 제약이 있는 스케줄링 문제로의 환원을 가능하게 한다.
• 정수 라운딩 단계의 결함으로 인해 주장된 2-근사가 무효화되지만, 프레임워크는 향후 개선을 위한 기초로서 여전히 가치가 있다.
• 결정론적 변환 절차는 역단계 값에 대한 조각별 선형 비용 함수를 최소화하여 최적의 λ를 효율적으로 찾으며, 다항 시간 실행을 보장한다.