[논문 리뷰] A tight Erdýos-Posa function for long cycles

Frank Mousset, Andreas Noever외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 15인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 긴 사이클에 대해 날카운트된 에르되시–포샤 함수를 확립하여, 임의의 그래프가 k개의 정점이 분리된 길이 l 이상의 사이클을 포함하거나, O(kl + k log k)개의 정점을 제거함으로써 그러한 사이클을 포함하지 않도록 만들 수 있음을 증명한다. 이 결과는 고전적인 에르되시–포샤 정리의 일반화이며, 상수 인자까지 최적의 경계를 제공하며, 긴 사이클을 포함하지 않는 그래프의 트리너비 경계에 응용된다.

ABSTRACT

A classic result of Erdős and Posa says that any graph contains either k vertexdisjoint cycles or can be made acyclic by deleting at most O(k log k) vertices. Here we generalize this result by showing that for all numbers k and l and for every graph G, either G contains k vertex-disjoint cycles of length at least l, or there exists a set X of O(kl+k log k) vertices that meets all cycles of length at least l in G. As a corollary, the tree-width of any graph G that does not contain k vertex-disjoint cycles of length at least l is of order O(kl+k log k). These results improve on the work of Birmele, Bondy and Reed ’07 and Fiorini and Herinckx ’14 and are optimal up to constant factors.

연구 동기 및 목표

• 길이가 적어도 l인 사이클로 고전적인 에르되시–포샤 정리를 일반화하기.
• 모든 그래프가 k개의 정점이 분리된 길이 ≥ l인 사이클을 포함하거나, 크기가 f(k, l)인 히팅 세트를 포함하는 최적의 함수 f(k, l)를 결정하기.
• 긴 사이클의 맥락에서 에르되시–포샤 함수의 날카운트 渐近 경계를 확립하기.
• k개의 정점이 분리된 긴 사이클을 포함하지 않는 그래프에 대한 트리너비 상계를 도출하기.

제안 방법

• 구조적 그래프 이론과 사이클 패킹 기법을 사용하여 고전적인 에르되시–포샤 추론을 긴 사이클로 확장하기.
• 재귀적 분해 추론을 적용하여 k개의 정점이 분리된 긴 사이클을 식별하거나 패킹하기.
• 정점 스퍼피피케이션 방법을 활용하여 긴 사이클에 대한 히팅 세트의 크기를 제한하기.
• 사이클 마이너의 구조와 트리너비의 성질을 이용하여 히팅 세트 크기와 그래프의 흐린 정도 사이의 관계를 규명하기.
• 기존의 트리너비와 사이클 패킹 결과를 적용하여 최종 경계를 도출하기.
• 조합적 추론과 알려진 극한 그래프 이론을 결합하여 날카운트 渐近 경계를 달성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 그래프가 k개의 정점이 분리된 길이가 적어도 l인 사이클을 포함하거나, 크기가 f(k, l)인 히팅 세트를 포함하는 데 있어 최적의 함수 f(k, l)는 무엇인가?
• RQ2 고전적인 에르되시–포샤 정리는 긴 사이클로 확장될 수 있으며, 날카운트 渐近 경계를 갖는가?
• RQ3 길이가 적어도 l인 k개의 정점이 분리된 사이클을 포함하지 않는 그래프의 트리너비는 무엇인가?
• RQ4 k와 l에 대한 의존성 측면에서, 긴 사이클에 대한 경계는 임의의 사이클에 대한 경계와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 그래프에서 길이가 적어도 l인 모든 사이클을 제거하기 위해 O(kl + k log k)개의 정점으로 충분함을 규명한다.
• 이 경계는 상수 인자까지 최적이며, 비르멜레, 본디, 리드, 피오리니, 헤린크스가 이전에 확보한 결과를 향상시킨다.
• 이 결과는 고전적인 에르되시–포샤 정리를 긴 사이클로 일반화하며, k와 l에 대한 날카운트 渐近 의존성으로서 최적의 성능을 보인다.
• k개의 정점이 분리된 길이가 적어도 l인 사이클을 포함하지 않는 임의의 그래프는 트리너비가 O(kl + k log k) 이하이다.
• 히팅 세트 함수는 날카롭다. 즉, 동일한 보장을 달성할 수 있는 점근적으로 더 작은 함수는 존재하지 않는다.
• 분석을 통해 l에 대한 의존성이 선형이고, k에 대한 의존성이 선형-로그arithmic임을 확인하였으며, 이는 최적의 상호 보완 관계를 반영한다.