[논문 리뷰] A token-based central queue with order-independent service rates

Urtzi Ayesta, Tejas Bodas외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 06.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 21인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다수의 고객 유형과 순서에 영향을 받지 않는 서비스 속도를 갖는 토큰 기반 중심 대기열 모델을 제안하며, 고객들은 호환 가능한 토큰을 확보하여 서비스를 이용한다. 주요 기여는 특정 할당 및 서비스 속도 조건 하에서 평형 분포가 곱형태를 띠며, 이는 이전의 모델들인 순서에 영향을 받지 않는 대기열과 폐쇄형 성능 지표를 갖는 재정의 시스템을 일반화한다는 점이다.

ABSTRACT

We study a token-based central queue with multiple customer types. Customers of each type arrive according to a Poisson process and have an associated set of compatible tokens. Customers may only receive service when they have claimed a compatible token. If upon arrival, more than one compatible token is available, an assignment rule determines which token will be claimed. The service rate obtained by a customer is state-dependent, i.e., it depends on the set of claimed tokens and on the number of customers in the system. Our first main result shows that, provided the assignment rule and the service rates satisfy certain conditions, the steady-state distribution has a product form. We show that our model subsumes known families of models that have product-form steady-state distributions including the order-independent queue of Krzesinski (2011) and the model of Visschers et al. (2012). Our second main contribution involves the derivation of expressions for relevant performance measures such as the sojourn time and the number of customers present in the system. We apply our framework to relevant models, including an M/M/K queue with heterogeneous service rates, the MSCCC queue, multi-server models with redundancy and matching models. For some of these models, we present expressions for performance measures that have not been derived before.

연구 동기 및 목표

• 기존의 곱형태 대기열 모델, 즉 순서에 영향을 받지 않는 대기열과 재정의 시스템을 통합된 프레임워크로 일반화하기.
• 다양한 고객 유형과 상태에 따라 변하는 서비스 속도를 갖는 시스템을 토큰 기반 메커니즘을 통해 자원 할당하는 방식으로 모델링하기.
• 새로운 프레임워크 하에서 체류 시간과 시스템 점유도와 같은 성능 측도에 대한 명시적 표현을 유도하기.
• 제안된 모델이 기존의 곱형태 가족, 즉 BCMP 및 켈리 네트워크를 포함하여 포함함과 동시에 그 적용 범위를 확장할 수 있음을 보여주기.

제안 방법

• 각 유형의 고객은 독립적인 포아송 과정에 따라 도착하며, 서비스를 받기 위해 호환 가능한 토큰이 필요하다.
• 고객이 도착할 경우 가용한 호환 가능한 토큰이 있으면 이를 확보하고, 그렇지 않으면 대기열에 대기한다.
• 서비스 속도는 상태에 따라 변하며, 확보된 토큰 수와 활성 고객 수에 따라 달라진다.
• 여러 개의 호환 가능한 토큰이 가용할 경우 어느 토큰을 확보할지 결정하는 할당 규칙이 존재하며, 이는 곱형태 분포를 보장하는 조건을 충족해야 한다.
• 균형 분포는 균형 방정식을 통해 유도되며, 토큰 유형과 시스템 상태에 기반한 항들의 곱으로 분해됨을 보여준다.
• 성능 측도로는 체류 시간과 시스템 크기 등이 곱형태 구조 하에서 생성 함수와 라플라스 변환을 통해 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 고객 유형과 상태에 따라 변하는 서비스 속도를 갖는 토큰 기반 중심 대기열이 곱형태 평형 분포를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이 모델은 순서에 영향을 받지 않는 대기열과 재정의 시스템과 같은 기존의 곱형태 가족을 통합하고 일반화할 수 있는가?
• RQ3 할당 규칙과 서비스 속도 함수는 평형 분포의 구조적 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 곱형태 조건 하에서 체류 시간과 시스템 점유도와 같은 성능 측도는 어떻게 분석적으로 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 할당 규칙과 서비스 속도 함수에 대한 온건한 조건 하에서 시스템의 평형 분포가 곱형태를 띠며, 이는 효율적인 성능 분석을 가능하게 한다.
• 이 모델은 순서에 영향을 받지 않는 대기열과 d-선택 재정의 시스템을 모두 일반화하며, 기존의 곱형태 가족을 포함한다.
• 기다리는 고객 수의 생성 함수와 체류 시간의 라플라스 변환에 대한 명시적 표현이 도출되었다.
• 이 프레임워크는 MSCCC 대기열 및 이질적 속도를 갖는 다중 서버 시스템과 같은 일부 재정의 및 매칭 모델에서 성능 측도를 최초로 유도할 수 있도록 한다.
• 서비스 속도가 활성 고객 수와 확보된 토큰 수에 따라 달라지는 경우에도 곱형태 구조가 유지되며, 고전적 곱형태 이론을 확장한다.
• 결과는 매칭 모델과 재정의 시스템 간에 깊은 구조적 유사성이 있으며, 특정 파rameter 설정 하에서 샘플 경로 동치성이 성립함을 확인한다.