[논문 리뷰] A toolbox to solve coupled systems of differential and difference equations

Jakob Ablinger, Johannes Bluemlein외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 08.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 3-루프 질량이 있는 파인만 도형 계산에서 발생하는 결합된 선형 미분 및 차분 방정식 시스템의 해에 대한 $\varepsilon$-전개 계수를 자동으로 계산하는 의사결정 알고리즘을 제시한다. 힐로노믹 폐쇄, 분리, 차분 링 알고리즘을 활용하여 계수들이 중첩된 초함수 합으로서 닫힌 형태로 표현될 수 있는지 여부를 판단하며, 완전한 해를 제공하거나 불가능성을 증명한다. 이 방법은 Mathematica 패키지 SolveCoupledSystem에 구현되어 있어 $\varepsilon$-전개 계산을 고차수까지 완전히 자동화할 수 있다.

ABSTRACT

We present algorithms to solve coupled systems of linear differential equations, arising in the calculation of massive Feynman diagrams with local operator insertions at 3-loop order, which do {\it not} request special choices of bases. Here we assume that the desired solution has a power series representation and we seek for the coefficients in closed form. In particular, if the coefficients depend on a small parameter $\ep$ (the dimensional parameter), we assume that the coefficients themselves can be expanded in formal Laurent series w.r.t.\ $\ep$ and we try to compute the first terms in closed form. More precisely, we have a decision algorithm which solves the following problem: if the terms can be represented by an indefinite nested hypergeometric sum expression (covering as special cases the harmonic sums, cyclotomic sums, generalized harmonic sums or nested binomial sums), then we can calculate them. If the algorithm fails, we obtain a proof that the terms cannot be represented by the class of indefinite nested hypergeometric sum expressions. Internally, this problem is reduced by holonomic closure properties to solving a coupled system of linear difference equations. The underlying method in this setting relies on decoupling algorithms, difference ring algorithms and recurrence solving. We demonstrate by a concrete example how this algorithm can be applied with the new Mathematica package exttt{SolveCoupledSystem} which is based on the packages exttt{Sigma}, exttt{HarmonicSums} and exttt{OreSys}. In all applications the representation in $x$-space is obtained as an iterated integral representation over general alphabets, generalizing Poincaré iterated integrals.

연구 동기 및 목표

• 결합된 선형 미분 및 차분 방정식 시스템의 해에 대한 $\varepsilon$-전개 계수들이 닫힌 형태로 표현될 수 있는지 여부를 판단하는 완전한 알고리즘을 개발하는 것.
• 특수 기저 선택이 필요하지 않은 조건에서, 국소 연산자 삽입이 있는 3-루프 질량이 있는 파인만 도형의 맥락에서 이러한 시스템을 해결하는 데 도전하는 것.
• 중첩된 초함수 합 표현으로서 계수를 계산하거나 이 클래스 내에서 불가능성을 증명하는 의사결정 절차를 제공하는 것.
• 기호 합산 및 적분 도구를 사용하여 원하는 차수까지 $\varepsilon$-전개 계수를 자동으로 계산하는 것.

제안 방법

• 문제 해결을 위해 힐로노믹 폐쇄 성질을 활용하여 결합된 미분 방정식 문제를 선형 차분 방정식 시스템으로 환원한다.
• 분리 알고리즘을 적용하여 시스템을 재구성하여 재귀 방정식 해법 및 기호 합산에 적합한 형태로 단순화한다.
• 차분 링 알고리즘을 사용하여 해가 불확정적 중첩 초함수 합(예: 조화, 순환, 중첩 이항 합 포함)으로 표현될 수 있는지 여부를 판단한다.
• Sigma, HarmonicSums, OreSys를 통합한 Mathematica 패키지 SolveCoupledSystem에 의해 구현되어 기호 계산을 수행한다.
• 초기 조건는 $\alpha$-매개변수화를 사용하여 계산되어 $\varepsilon$-전개 과정을 완전히 자동화한다.
• 해는 일반 알파벳을 갖는 반복 적분 형태로 표현되며, 복잡한 마스터 적분을 다룰 수 있도록 Poincaré 반복 적분을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합된 선형 미분 및 차분 방정식 시스템의 해에 대한 $\varepsilon$-전개 계수들이 중첩된 초함수 합 표현으로서 닫힌 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 중첩된 초함수 합 클래스 내에서 이러한 표현을 계산하거나 불가능성을 증명할 수 있는 의사결정 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 국소 연산자 삽입이 있는 3-루프 질량이 있는 파인만 도형에서 유도된 결합된 시스템을 특수 기저 선택 없이 자동으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 미분 시스템의 우변의 계산 구조는 무엇이며, 해가 중첩 이항 합을 필요로 할 경우에도 일반화된 조화 합으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 기호 합산 및 적분 도구를 사용하여 고차수까지 전체 $\varepsilon$-전개를 자동으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘이 마스터 적분 $\hat{I}_1(x) = J_6(1,1;x)$, $\hat{I}_2(x) = J_6(2,1;x)$, $\hat{I}_3(x) = J_6(1,2;x)$의 $\varepsilon$-전개 계수를 $\varepsilon^3$ 차수까지 229초 만에 성공적으로 계산하였다.
• 3-루프 도형의 해는 최대 무게 7까지 40개의 조화 합을 포함하여 고중량, 복잡한 합의 구조를 다룰 수 있음을 보여주며, 이는 방법의 능력을 입증한다.
• 미분 시스템의 우변은 일반화된 조화 합으로 표현 가능하지만, 해는 중첩 이항 합이 필요함을 시사하여 직접적 해법의 한계를 드러낸다.
• 특정 계수들이 중첩 초함수 합 표현 클래스에 포함될 수 없음을 증명함으로써 엄밀한 의사결정 절차를 제공한다.
• SolveCoupledSystem에 구현된 방법은 IBP로 단순화된 마스터 적분에서 유도된 결합된 시스템에 대해 $\varepsilon$-전개 과정을 완전히 자동화할 수 있다.
• 해는 일반 알파벳을 허용하는 반복 적분 표현을 통해 Poincaré 반복 적분을 일반화하여 $x$-공간에서의 해 표현을 확장한다.