[논문 리뷰] A Tour on Ecumenical Systems (Invited Talk)

Elaine Pimentel, Luiz Carlos Pereira|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Philosophy and Theoretical Science인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 기독교적 체계에서 고전적 및 직관적 증명 이론적 의미론을 일관적으로 통합하는 새로운 기본 확장 의미론(Be-S)을 제안한다. 이는 비논리적 상수 ⊥을 원자적 명제로 간주하고 모든 기본체계의 일관성을 강제함으로써 이루어지며, 자연연역 체계에 대해 타당성과 완전성을 확립한다. 이는 고전적 및 직관적 증명을 정규화 기법을 통해 구분함으로써, 고전적 추론이 오직 고전적 원소에 대한 완전성 증명에서만 필요로 함을 보여주며, 두 증명 개념의 개념적 및 기술적 기초를 공식적으로 분리한다.

ABSTRACT

Debates concerning philosophical grounds for the validity of classical and intuitionistic logics often have the very nature of logical proofs as one of the main points of controversy. The intuitionist advocates for a strict notion of constructive proof, while the classical logician advocates for a notion which allows non-construtive proofs through reductio ad absurdum. A great deal of controversy still subsists to this day on the matter, as there is no agreement between disputants on the precise standing of non-constructive methods. Two very distinct approaches to logic are currently providing interesting contributions to this debate. The first, oftentimes called logical ecumenism, aims to provide a unified framework in which two "rival" logics may peacefully coexist, thus providing some sort of neutral ground for the contestants. The second, proof-theoretic semantics, aims not only to elucidate the meaning of a logical proof, but also to provide means for its use as a basic concept of semantic analysis. Logical ecumenism thus provides a medium in which meaningful interactions may occur between classical and intuitionistic logic, whilst proof-theoretic semantics provides a way of clarifying what is at stake when one accepts or denies reductio ad absurdum as a meaningful proof method. In this paper we show how to coherently combine both approaches by providing not only a medium in which classical and intuitionistic logics may coexist, but also one in which classical and intuitionistic notions of proof may coexist.

연구 동기 및 목표

• 기독교적 프레임워크 내에서 고전적 및 직관적 증명 이론적 의미론을 일관적으로 통합하는 기본 확장 의미론(Be-S)을 개발하는 것.
• 모든 기본체계가 일관성을 가져야 하며, ⊥을 원자적 명제로 간주함으로써 비논리적 상수 ⊥에 대한 개념적으로 적절하고 기술적으로 타당한 의미론을 제공하는 것.
• 고전적 추론이 오직 고전적 원소에 대한 완전성 증명에서만 필요로 하며, 고전적 및 직관적 증명의 개념적 기초를 분리함을 보여주는 것.
• 기본 확장 의미론을 통해 직관적 논리 이외의 영역으로 증명 이론적 의미론을 확장하고, 기독교적 자연연역을 지원하는 강력한 Be-S 프레임워크를 도입하는 것.
• 기독교적 체계에서 국소적 및 전역적 타당성의 관점에서 직관적 논리와 고전적 논리 간의 의미론적 및 증명 이론적 차이를 탐색하는 것.

제안 방법

• 모든 증명 기본체계가 일관성을 가져야 하며, ⊥을 원자적 명제로 간주함으로써 고전적 및 직관적 증명의 공식적 공존을 가능하게 하는 새로운 ⊥ 처리 방식을 도입한다.
• 기본 확장 의미론의 두 가지 버전을 정의한다: 이중 부정과 증명 가능성의 차이를 이해하기 위한 약한 버전과 완전한 기독교적 추론을 위한 강한 버전.
• 고전적 및 직관적 연결사가 공존하는 자연연역 체계를 구성하고, 각각에 대해 별도의 추론 규칙을 설정하며, 강력한 Be-S 프레임워크에 상대적인 타당성과 완전성을 증명한다.
• 정규화 기법을 사용하여 시뮬레이션 기반의 일관성을 증명함으로써, 고전적 체계에서 유도된 유도가 타당한 이유 없이 ⊥으로 이어지지 않도록 보장한다.
• 원자적 규칙의 결론을 그들의 명제적 대응항으로 대체함으로써 고전적 유도에서 직관적 유도로의 변환을 적용함으로써, 두 체계 간의 타당성 유지 및 기독교적 체계의 타당성 보장을 지원한다.
• Prawitz의 추론 기반 프레임워크를 활용하여 직관적 논리 내에서 고전적 연결사의 진술 조건을 정의함으로써, 기각된 연산자를 재해석할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 및 직관적 증명 이론적 의미론은 어떻게 단일 프레임워크 내에서 일관적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 통합된 증명 이론적 의미론에서 비논리적 상수 ⊥의 역할은 무엇이며, 어떻게 공식적으로 다뤄져야 하는가?
• RQ3 기본 확장 의미론은 고전적 및 직관적 추론을 서로 충돌 없이 지원할 수 있는가?
• RQ4 완전성 증명에서 고전적 추론이 어느 정도 필요하며, 고전적 및 직관적 증명의 차이는 공식적으로 분리될 수 있는가?
• RQ5 Be-S에서의 국소적 및 전역적 타당성은 기독교적 체계의 의미론적 분석에 어떻게 기여하며, 어떤 새로운 통찰을 제공하는가?

주요 결과

• 강력한 기본 확장 의미론을 통해 고전적 및 직관적 증명을 정규화 기법으로 구분함으로써, 타당성과 완전성을 보장하는 기독교적 자연연역 체계를 수립하였다.
• ⊥을 원자적 명제로 간주하고 모든 기본체계가 일관성을 가져야 하므로, 고전적 및 직관적 맥락 모두에서 비논리적 상수의 의미론에 대해 기술적으로 탄탄하고 개념적으로 적절한 의미론을 제공한다.
• 고전적 원소에 대한 완전성 증명은 고전적 추론에 의존하지만, 증명의 나머지 모든 단계는 구조적임을 보여주며, 고전적 및 직관적 증명 간의 차이가 공식적이고 개념적으로 타당함을 입증한다.
• 정규화 기법을 성공적으로 적용하여 시뮬레이션 기반의 일관성을 증명함으로써, 고전적 규칙의 추가로 인해 일관성 없는 유도가 발생하지 않도록 보장한다.
• 원자적 규칙의 결론을 그들의 명제적 대응항으로 대체함으로써 고전적 유도에서 직관적 유도로의 변환은 타당성을 유지하며, 기독교적 체계의 타당성 보장을 지원한다.
• 이 프레임워크는 의미론적 함의에 대해 새로운 시각을 제공하며, 특히 국소적 및 전역적 타당성의 상호작용에서传통적인 모델 이론적 분석에서는 드러나지 않는 성질들을 드러낸다.