[논문 리뷰] A tour problem on a toroidal board

Simone Costa, Marco Dalai외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Mathematics and Applications참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 토러스 보드에서 '疯狂 기사의 순회 문제'를 소개하고 해결한다. 여기서 기사의 이동 방식은 방향성 벡터 R과 C에 따라 행과 열 방향을 번갈아가며 이동한다. 완전히 메운 직사각형 보드에 대해 완전한 해를 제공하고, 정규 희박 패턴에 대해서는 부분적인 결과를 도출하며, 구성 요소 하위배열이 해를 갖는 경우에만 해가 존재함을 증명함으로써 새로운 가시 배열을 재귀적으로 구성할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper we study a tour problem that we came cross while studying biembeddings and Heffter arrays, see [D.S. Archdeacon, Heffter arrays and biembedding graphs on surfaces, Electron. J. Combin. 22 (2015) #P1.74]. Let $A$ be an $n imes m$ toroidal array consisting of filled cells and empty cells. Assume that an orientation $R=(r_1,\dots,r_n)$ of each row and $C=(c_1,\dots,c_m)$ of each column of $A$ is fixed. Given an initial filled cell $(i_1,j_1)$ consider the list $ L_{R,C}=((i_1,j_1),(i_2,j_2),\ldots,(i_k,j_k),$ $(i_{k+1},j_{k+1}),\ldots)$ where $j_{k+1}$ is the column index of the filled cell $(i_k,j_{k+1})$ of the row $R_{i_k}$ next to $(i_k,j_k)$ in the orientation $r_{i_k}$, and where $i_{k+1}$ is the row index of the filled cell of the column $C_{j_{k+1}}$ next to $(i_k,j_{k+1})$ in the orientation $c_{j_{k+1}}$. We propose the following "Crazy Knight's Tour Problem": Do there exist $R$ and $C$ such that the list $L_{R,C}$ covers all the filled cells of $A$? Here we provide a complete solution for the case with no empty cells and we obtain partial results for square arrays where the filled cells follow some specific regular patterns.

연구 동기 및 목표

• 토러스 보드에서 채워진 모든 칸을 정확히 한 번씩 방문하는 기사 유사 순회가 존재하도록 하는 방향성 벡터 R과 C가 존재하는지 판단하는 것.
• 부분적으로 채워진 배열에서 이러한 순회의 존재에 필요한 조건을 분석하는 것.
• 완전히 채워진 n×m 직사각형 보드에 대해 완전한 해를 제공하는 것.
• 각 행과 열에 정확히 k개의 채워진 칸이 있는 정사각형 배열으로 결과를 확장하는 것 (예: 행과 열당 k개의 채워진 칸).
• 작은 가시 가능한 구성 요소에서 새로운 해를 가진 배열을 생성하는 재귀적 구성 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 행 방향 벡터 R을 사용해 행을 따라 이동하고, 열 방향 벡터 C를 사용해 열을 따라 이동하는 방식으로 번갈아가며 다음 채워진 칸을 선택하는 이동 함수 S_{R,C}를 정의한다.
• 채워진 칸은 •로 표시된 부분적으로 채워진 n×m 배열 A로 보드를 표현하고, F(A)를 채워진 위치의 집합으로 정의한다.
• 시작 위치 (i,j)에서 시작해 S_{R,C}를 반복적으로 적용하여 생성된 위치의 순서인 순회 목록 L(i,j)을 구성하며, 다시 시작 위치로 돌아올 때까지 진행한다.
• 복잡한 배열 A를 더 작은 구성 요소로 분해하기 위해 최소 닫힘 하위배열 Bi의 개념을 도입하여 재귀적 해를 구성할 수 있도록 한다.
• 배열 A에 대한 해가 존재하는 것은 그 모든 구성 요소 하위배열 Bi에 대한 해가 존재할 때에만 가능하다는 것을 증명하며, 연결성과 순회 닫힘 성질에 기반한 조합적 논증을 사용한다.
• 이 분해 기법을 적용하여 무한한 수의 해를 가진 배열의 집합을 구성하며, 이는 행 또는 열 하나에 k+1개의 채워진 칸이 있는 경우도 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향성 벡터 R과 C가 보드 A의 모든 채워진 칸을 커버하는 닫힌 순회를 생성하기 위해 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ2 완전히 채워진 n×m 토러스 보드에서 '疯狂 기사의 순회 문제'의 해가 항상 존재하는가? 만약 그렇다면, 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 각 행과 열에 정확히 k개의 채워진 칸이 있는 정사각형 배열에 대해 문제를 해결할 수 있으며, 어떤 구조적 제약 조건이 필요하는가?
• RQ4 작은 배열의 해를 어떻게 조합하여 서로 겹치지 않는 채워진 하위배열을 가진 더 큰 배열의 해를 구성할 수 있는가?
• RQ5 여러 개의 하위배열을 조합할 때 순회가 닫혀 있고 모든 채워진 칸을 커버하도록 보장하는 재귀적 구성 규칙는 무엇인가?

주요 결과

• 토러스 상의 완전히 채워진 n×m 직사각형 배열에 대해 '疯狂 기사의 순회 문제'에 대한 완전한 해를 제공하며, 차원에 관계없이 항상 해가 존재함을 보여준다.
• 각 행과 열에 정확히 k개의 채워진 칸이 있는 정사각형 배열의 경우, 해가 존재하는 것은 배열의 구조에 대한 특정 조합 조건을 만족할 때에만 가능하며, 전체 특성화는 아직 부분적이다.
• 논문은 배열 A가 서로소인 최소 하위배열 Bi의 조합으로 이루어져 있고, 각 P(Bi)에 해가 존재할 경우, P(A)에 해가 존재하는 것은 방향성 R과 C가 구성 요소 간에 호환될 때에만 가능하다는 것을 증명한다.
• 재귀적 구성 방법이 확립되었으며, P(B1)과 P(B2)에 해가 존재할 경우, B1과 B2를 순회 연결성을 유지하는 방식으로 조합하여 A를 형성하면 P(A)에 해가 존재한다.
• 하위배열의 위치가 연속적이지 않더라도 해법이 강건함을 입증한 예시를 통해, B1과 B2가 A에서 인접하지 않더라도 전체 순회가 가능함을 보였다.
• t개의 최소 하위배열 각각에 하나의 채워진 칸을 추가하면, 새로운 연결이 순회 닫힘 성질을 유지할 경우 전체 해를 가능하게 할 수 있음을 보여주었다.