[논문 리뷰] A Trace Formula for Certain Hecke Operators and Gaussian Hypergeometric Functions

Catherine Lennon|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 체수 3과 9인 측두형식의 임의의 스킴 $T_k(p)$에 대해 명시적인 추적 공식을 유도하며, 이는 유한체 위에서의 가우시안 초함수의 특수값을 통해 표현된다. 타원곡선의 프로베누스 추적은 3-torsion을 가진 경우 가우시안 초함수 합의 정규화된 형태로 표현되며, 이는 $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수에 대한 재귀 공식을 유도하는 데 응용된다. 이 공식은 모듈러 형식을 통해 삼차다양체의 점 수와 연결된다.

ABSTRACT

We present here simple trace formulas for Hecke operators $T_k(p)$ for all $p>3$ on $S_k(Γ_0(3))$ and $S_k(Γ_0(9))$, the spaces of cusp forms of weight $k$ and levels 3 and 9. These formulas can be expressed in terms of special values of Gaussian hypergeometric series and lend themselves to simple recursive expressions in terms of traces of Hecke operators on spaces of lower weight. Along the way, we show how to express the traces of Frobenius of a family of elliptic curves with 3-torsion as special values of a Gaussian hypergeometric series over $\mathbb{F}_q$, when $q\equiv 1 \pmod{3}$. We also use these formulas to provide a simple expression for the Fourier coefficients of $η(3z)^8$, the unique normalized cusp form of weight 4 and level 9, and then show that the number of points on a certain threefold is expressible in terms of these coefficients.

연구 동기 및 목표

• 체수 3과 9인 $S_k(\Gamma_0(3))$ 및 $S_k(\Gamma_0(9))$에서 $p > 3$에 대해 히케 연산자 $T_k(p)$에 대한 단순하고 재귀적인 추적 공식을 유도하는 것.
• 체수 $q \equiv 1 \pmod{3}$일 때, 3-torsion을 가진 타원곡선의 프로베누스 추적을 $\mathbb{F}_q$ 위에서의 가우시안 초함수 급수로 표현하는 것.
• $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수에 대한 닫힌 표현식을 제시하며, 이는 자코비 합수를 통해 유도된다.
• 이러한 추적 공식을 통해 특정 삼차다양체의 $\mathbb{F}_p$-유리점 수와 모듈러 형식의 푸리에 계수를 연결하는 것.

제안 방법

• 유한체 위에서의 가우시안 초함수 급수를 정의하기 위해 정규화된 자코비 합수 $\left({A \atop B}\right)$를 사용하는 것.
• 프로베누스 추적 계산을 용이하게 하기 위해 3-torsion을 가진 타원곡선을 $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3$ 형태로 매개변수화하는 것.
• 가우스 합 항등식과 캐릭터 합 조작을 적용하여 프로베누스 추적과 초함수 급수 사이의 관계를 유도하는 것.
• 더 낮은 무게의 히케 추적으로 표현함으로써 $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(3), p)$ 및 $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(9), p)$의 재귀적 추적 공식을 유도하는 것.
• 캐릭터 합 전개를 단순화하기 위해 항등식 $G_{m + \frac{q-1}{3}} G_{-m} = \left(T^{m + \frac{q-1}{3}} \atop T^m\right) G_{\frac{q-1}{3}} q T^m(-1)$를 활용하는 것.
• 삼차다양체의 모듈러성은 $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수로 표현된 점 수를 통해 유도되며, 이는 초함수 추적 공식으로 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체수 3 및 9인 $S_k(\Gamma_0(3))$ 및 $S_k(\Gamma_0(9))$에서 히케 연산자 $T_k(p)$의 추적은 $\mathbb{F}_q$ 위에서의 가우시안 초함수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 체수 $q \equiv 1 \pmod{3}$일 때, 3-torsion을 가진 타원곡선의 프로베누스 추적은 가우시안 초함수 급수의 특수값과 동일한가?
• RQ3 $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수는 자코비 합수와 초함수 급수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 특정 삼차다양체의 $\mathbb{F}_p$-유리점 수는 체수 9, 무게 4인 모듈러 형식의 푸리에 계수에 의존하는가?
• RQ5 j-불변량이 0인 동치 타원곡선의 프로베누스 추적 합과 초함수 급수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 체수 $q \equiv 1 \pmod{3}$일 때, 3-torsion을 가진 타원곡선 $E_{a_1,a_3}$의 줄기 모듈로 $p$에 대한 프로베누스 추적은 $t_q(E_{a_1,a_3}) = -q \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 27a_1^{-3}a_3 \right)_q$로 주어지며, 여기서 $\rho$는 3차 캐릭터이다.
• $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수, 즉 무게 4와 체수 9에서의 유일한 정규화된 측두형식은 자코비 합수로 표현 가능하며, 히케 추적 항등식으로부터 유도된 재귀 공식을 만족한다.
• 만약 $k \equiv 2 \pmod{3}$이면, $E_{0,\alpha}$, $E_{0,\alpha^2}$, $E_{0,\alpha^3}$의 세 동치 타원곡선의 프로베누스 추적의 평균은 $-p^{k-2} \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 9 \cdot 8^{-1} \right)_{p^{k-2}}$와 같으며, 이 외의 경우 합은 0이 된다.
• 특정 삼차다양체의 $\mathbb{F}_p$-유리점 수는 $\eta(3z)^8$의 푸리에 계수의 선형 조합으로 표현 가능하며, 이는 초함수 추적 공식으로 결정된다.
• $S_k(\Gamma_0(3))$ 및 $S_k(\Gamma_0(9))$에서 히케 연산자 $T_k(p)$의 추적은 초함수 항등식을 통해 더 낮은 무게의 추적으로 재귀적으로 표현 가능하다.
• 삼차다양체의 모듈러성은 점 수와 모듈러 형식의 푸리에 계수 사이의 연결을 통해 확립되며, 후자는 초함수 급수를 통해 유한체 위에서 계산된다.