[논문 리뷰] A trace inequality of Ando, Hiai and Okubo and a monotonicity property of the Golden-Thompson inequality

Eric A. Carlen, Élliott H. Lieb|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 11.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 10인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 특정한 양성 조건 하에서 아ند로-히라이-오쿠보(AHO) 추적 부등식의 강화된 버전을 증명함으로써 양자역학적 연산자에 대한 골든-탐스키 추적 부등식의 단조성 성질을 확립한다. 리브-티어링 및 헬더 부등식을 사용하여, H = Δ 또는 H = −√(−Δ + m), K = 포텐셜인 경우 u ∈ [0,1] 에서 Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] 가 증가함을 보이며, s + t > 3/2 일지라도 실수의 양정부호 행렬에 대해서도 AHO 부등식이 성립하지 않음을 보여주는 새로운 반례를 제시한다.

ABSTRACT

The Golden-Thompson trace inequality which states that $Tr\, e^{H+K} \leq Tr\, e^H e^K$ has proved to be very useful in quantum statistical mechanics. Golden used it to show that the classical free energy is less than the quantum one. Here we make this G-T inequality more explicit by proving that for some operators, notably the operators of interest in quantum mechanics, $H=\Delta$ or $H= -\sqrt{-\Delta +m}$ and $K=$ potential, $Tr\, e^{H+(1-u)K}e^{uK}$ is a monotone increasing function of the parameter $u$ for $0\leq u \leq 1$. Our proof utilizes an inequality of Ando, Hiai and Okubo (AHO): $Tr\, X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t} \leq Tr\, XY$ for positive operators X,Y and for $ frac{1}{2} \leq s,\,t \leq 1 $ and $s+t \leq frac{3}{2}$. The obvious conjecture that this inequality should hold up to $s+t\leq 1$, was proved false by Plevnik. We give a different proof of AHO and also give more counterexamples in the $ frac{3}{2}, 1$ range. More importantly we show that the inequality conjectured in AHO does indeed hold in this range if $X,Y$ have a certain positivity property -- one which does hold for quantum mechanical operators, thus enabling us to prove our G-T monotonicity theorem.

연구 동기 및 목표

• H = Δ 또는 H = −√(−Δ + m) 와 같은 양자역학적 연산자에 대해 골든-탐스키 추적 부등식의 단조성 성질을 확립하는 것.
• s + t > 3/2 일지라도 X와 Y에 특정한 양성 조건이 만족될 경우, 아ند로-히라이-오쿠보(AHO) 추적 부등식 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] ≤ Tr[XY] 가 성립함을 증명하는 것.
• s + t > 3/2 인 경우에 대해 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] 가 음수가 되는 실수의 양정부호 행렬 X와 Y에 대한 명시적 반례를 구성하는 것.
• AHO 부등식에서 s + t ≤ 3/2 조건의 날카로움을 명확히 하고, 일반 행렬에 대해 이것이 최적임을 보여주는 것.
• f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] 의 단조성 성질이 일반 자기수반 H와 K에 대해 성립하지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• 양정부호 행렬의 곱의 추적을 유계화하기 위해 추적 노름에 대한 리브-티어링 부등식과 헬더 부등식을 사용한다.
• 네 개의 양정부호 행렬을 포함하는 추적 표현에 일반화된 헬더 부등식을 적용하여 핵심 부등식 (2.4) 를 이끌어낸다.
• s + t > 3/2 인 경우의 반례를 생성하기 위해 하우스홀더 반사에 기반한 페르터베이션 구조를 도입한다.
• 서로 수직인 범위를 가지는 정사영 X₀와 Y₀ 의 페르터베이션으로서 X와 Y 를 구성함으로써 Tr[X₀^{1-s}Y₀^{1-t}X₀^sY₀^t] = 0 이 되도록 보장한다.
• 직교 변환 R 을 사용하여 페르터베이션된 행렬의 비대각성 행렬 원소의 부호를 제어함으로써 음수 추적을 가능하게 한다.
• 수치적 평가를 통해 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] 가 Tr[XY] 를 초과하거나 음수가 되어 AHO 부등식을 위반함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자역학적 연산자 H와 K에 대해 골든-탐스키 추적 부등식이 매개변수 u 에 대해 단조성을 보이는가?
• RQ2 s + t > 3/2 일지라도 s, t ∈ [0,1] 에 대해 아ند로-히라이-오쿠보 추적 부등식이 모든 경우에 성립하는가?
• RQ3 실수의 양정부호 행렬 X와 Y 에 대해 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] < 0 이 되는 명시적 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ4 AHO 부등식에서 s + t ≤ 3/2 조건은 날카로운가, 아니면 추가적인 양성 조건 하에서 확장 가능한가?
• RQ5 f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] 의 단조성 성질은 모든 자기수반 H와 K에 대해 성립하는가, 아니면 특정 조건에서만 성립하는가?

주요 결과

• H = Δ 또는 H = −√(−Δ + m) 이고 K가 포텐셜일 때, X와 Y가 양자역학적 연산자라는 양성 조건 하에서 f_H,K(u) = Tr[e^{H+(1-u)K}e^{uK}] 는 u ∈ [0,1] 에서 단조 증가함을 보였다.
• s + t ≤ 3/2 이며 s, t ∈ [1/2,1] 일 경우 AHO 부등식 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] ≤ Tr[XY] 가 성립하며, X와 Y에 특정한 양성 조건이 만족될 경우 s + t ≤ 1 으로도 확장됨을 보였다.
• s + t = 1.58 인 경우 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] > Tr[XY] 가 되는 반례를 구성하여, 일반 행렬에 대해 s + t ≤ 3/2 조건이 날카로움을 입증하였다.
• 다른 반례에서는 s = t = 0.98 일 때 Tr[X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t}] < 0 이 되지만, Tr[X^{1/2}Y^{1/2}X^{1/2}Y^{1/2}] > 0 이므로 AHO 부등식이 s + t > 3/2 범위에서 실패함을 증명하였다.
• 특정 H와 K에 대해 d/du f_H,K(u)|_{u=1} < −3 × 10^{-6} 를 계산하여 일반 자기수반 연산자에 대해 단조성이 성립하지 않음을 보였다.
• 수치적 증거는 |X_t^{1,3} + X_t^{2,3}| 의 최댓값이 |X_t^{1,3}| + |X_t^{2,3}| 의 10^{-3} 배 이하임을 확인하였으며, 이는 반례 구성에서 삼각부등식이 거의 만족됨을 시사한다.