[논문 리뷰] A transformation for Lévy processes with one-sided jumps and applications

Marie Chazal, Andreas E. Kyprianou외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 한쪽 방향의 점프를 갖는 스펙트르 알리티브 음수 레비 과정의 라플라스 지수에 대해 삼파rameter 선형 변환 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$를 도입하며, 에스처 변환의 일반화이다. 스케일 함수, 지수 적분형, 양의 자기유사 마코프 과정 간의 관계를 밝혀내며, 상호연결성과 고유함수 관계를 통해 초함수 및 미타그레플러 유형 함수를 포함한 새로운 항등식을 유도한다.

ABSTRACT

The aim of this work is to extend and study a family of transformations between Laplace exponents of Lévy processes which have been introduced recently in a variety of different contexts by Patie, Kyprianou and Patie, and, Gnedin, as well as in older work of Urbanik . We show how some specific instances of this mapping prove to be useful for a variety of applications.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르 알리티브 음수 레비 과정의 라플라스 지수 간의 변환 가족을 확장하고 연구하는 것.
• 기존의 변동 이론, 지수 적분형, 양의 자기유사 마코프 과정과 관련된 결과들을 통합하고 일반화하는 것.
• 라플라스 지수를 자기 자신으로 매핑하는 매개변수 변환 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$를 수립하고 새로운 구조적 항등식을 드러내는 것.
• 이 변환을 반세마이어의 고유함수와 연결하여 초함수 및 미타그레플러 함수를 포함한 새로운 표현을 도출하는 것.

제안 방법

• 라플라스 지수에 대한 변환 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi(u) = \frac{u+\beta-\delta}{u+\beta}\psi(u+\beta) - \frac{\beta-\delta}{\beta}\psi(\beta)$ 는 $u \geq -\beta$ 에서 정의되며, 에스처 변환의 일반화이다.
• 이 변환이 선형임과 동시에 복합에 대해 닫혀 있음을 보이며, $\mathcal{T}_{\gamma} \circ \mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\gamma+\beta}$ 를 만족하며, $\mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\beta,\beta}$ 임을 보였다.
• 양의 자기유사 마코프 과정의 반세마이어와 그 생성자 간의 상호연결 관계를 이용하여 고유함수 항등식을 도출하였다.
• 전체 함수 $\mathcal{I}_{\psi}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(\psi) z^n$ 을 정의하였으며, 여기서 $a_n(\psi)^{-1} = \prod_{k=1}^n \psi(k)$ 이고, $\mathcal{I}_{\psi}$ 가 생성자 $\mathbf{L}^\psi$ 의 1-고유함수임을 보였다.
• 이 변환을 적용하여 $\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$ 와 같은 항등식을 도출하였으며, 분수 도함수와 변환된 라플라스 지수 간의 연결 고리를 확립하였다.
• 와이트 초함수 ${}_2F_2$ 와 미타그레플러 함수를 사용한 명시적 예시를 유도하였으며, $\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2(\cdots)$ 를 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르 알리티브 음수 레비 과정의 라플라스 지수에 대해, 존재하는 변동 항등식과 지수 적분형 결과를 통합할 수 있는 일반화된 변환을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ 변환이 양의 자기유사 마코프 과정의 반세마이어 고유함수를 어떻게 연결하는가?
• RQ3 변환된 라플라스 지수 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi$ 는 미타그레플러 함수 및 초함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이 변환을 사용하여 레비 과정의 스케일 함수와 지수 적분형에 대한 새로운 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ5 기본 레비 과정의 구조를 유지하면서 고유함수 항등식을 가능하게 하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 변환 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ 는 스펙트르 알리티브 음수 레비 과정의 라플라스 지수를 자기 자신으로 매핑하며, 에스처 변환을 일반화한다.
• $\psi(u) = (\alpha u)_\alpha$ 인 경우, 함수 $\mathcal{I}_{\psi_{1/\alpha}}(x) = \Gamma(\alpha)\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x)$ 는 생성자 $\mathbf{L}^\psi$ 의 1-고유함수임을 보였으며, 이는 미타그레플러 함수와 연결된다.
• $\delta < \theta + 1$ 인 경우 항등식 $\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$ 가 확립되었으며, 분수 도함수와 변환된 라플라스 지수 간의 연결 고리를 제공한다.
• $\psi(u) = u^\alpha$ 인 경우 함수 $\mathcal{I}_{\psi}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\Gamma^\alpha(n+1)}x^n$ 이 도출되었고, $\delta < 1$ 일 때 $\mathbf{D}^{1,\delta}\mathcal{I}_{\psi}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,0}\psi}(x)$ 가 성립하며, 변환된 함수는 $\Gamma$-비율을 통해 표현된다.
• 명시적인 초함수 항등식이 도출되었으며, $\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2\left(\left.\begin{array}{c}(1,1/\alpha+1),(1,1)\\(1,1/\alpha+1-\delta),(α,α)\end{array}\right|x\right)$ 이다.
• 이 변환은 관련 랜덤 변수 $J_{\psi_\theta}$ 의 모멘트 결정성(모멘트 결정성)을 유지하며, 유도된 급수 표현 및 함수 항등식의 타당성을 보장한다.