[논문 리뷰] A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions

Xiangyong Zeng, Jinyong Shan외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 31.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 $m \geq 5$ 에 대해 길이 $2^m - 1$ 의 새로운 삼중 오류 수정 이진 순환부호 $\tilde{\mathcal{C}}_{1,3,13}$ 를 구성한다. 이 부호는 $\mathrm{GF}(2^m)$ 내의 원시 원소 $\beta$ 의 제로 $\beta$, $\beta^3$, $\beta^{13}$ 로 정의된다. 이 부호는 골드 ($x^3$) 와 카사미-웰처 ($x^{13}$) 거의 완전 비선형(APN) 거듭제곱 함수로부터 유도되며, 고전적 원시 BCH 부호 $\tilde{\mathcal{C}}_{1,3,5}$ 와 동일한 무게 분포를 가짐을 증명하여 오류 수정 능력과 스펙트럼 성질 면에서 최적성을 입증한다.

ABSTRACT

Based on a sufficient condition proposed by Hollmann and Xiang for constructing triple-error-correcting codes, the minimum distance of a binary cyclic code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ with three zeros $α$, $α^3$, and $α^{13}$ of length $2^m-1$ and the weight divisibility of its dual code are studied, where $m\geq 5$ is odd and $α$ is a primitive element of the finite field $\mathbb{F}_{2^m}$. The code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ is proven to have the same weight distribution as the binary triple-error-correcting primitive BCH code $\mathcal{C}_{1,3,5}$ of the same length.

연구 동기 및 목표

• 길이 $2^m - 1$ 인 새로운 삼중 오류 수정 이진 순환부호를 $m \geq 5$ 인 홀수 $m$ 에 대해 구성한다.
• 골드 및 카사미-웰처 APN 거듭제곱 함수 $x^3$ 와 $x^{13}$ 로부터 유도된 부호 매개변수를 규명한다.
• 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 가 잘 알려진 원시 BCH 부호 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 와 동일한 무게 분포를 가짐을 증명한다.
• 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 의 쌍대 부호가 $2^{(m-1)/2}$ 의 배수인 무게를 가짐을 확인하여 홀만과 샹의 무게 분포 동치를 위한 충분 조건을 만족시킴을 입증한다.
• 기존에 알려진 동일한 무게 분포를 가진 부호의 범주에, 서로 다른 APN 함수 가족에서 유도된 새로운 APN 지수 쌍을 포함시키도록 확장한다.

제안 방법

• 홀만과 샹의 충분 조건을 활용: 길이 $2^m - 1$ 인 이진 순환부호가 최소 거리 $\geq 7$ 이고, 쌍대 부호의 무게가 $2^{(m-1)/2}$ 의 배수이면, $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 와 동일한 무게 분포를 가짐을 보장한다.
• 쌍대 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 를 $\epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{2^m}$ 에 대해 $\left(\mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13})\right)_{x \in \mathbb{F}_{2^m}^*}$ 의 형태로 분석한다.
• 맥밀런 항등식을 적용하여, 부호의 쌍대 부호의 무게 분포를 비교함으로써 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 과 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 의 무게 분포를 동치로 연결한다.
• $m = 5, 7, 9, 11$ 에 대해 모든 알려진 APN 지수 쌍을 검토하는 체계적 계산 실험을 수행하여 $(d_1, d_2) = (3,13)$ 이 새로운 유효한 쌍임을 규명한다.
• 계수의 2진 평가와 순환동치를 활용한 대수 기법을 적용하여 특정 선형 조합의 최대 무게를 유계화한다.
• $[17]$ 의 일반화된 결과를 사용하여 $M(m;3,13) = (m - \gcd(m,r))/2$ 를 증명함으로써, 쌍대 부호 내의 코드워드 최대 무게가 이론적으로 가능한 최대값임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무게가 $\alpha, \alpha^3, \alpha^{13}$ 인 이진 순환부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 는 최소 거리가 7 이상인가?
• RQ2 홀수 $m \geq 5$ 에 대해 쌍대 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 는 모든 무게가 $2^{(m-1)/2}$ 의 배수인가?
• RQ3 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 은 원시 BCH 부호 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 와 동일한 무게 분포를 가짐이 맞는가?
• RQ4 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 은 골드 및 카사미-웰처 APN 함수에서 유도된 $(3,13)$ 쌍을 통해 기존의 삼중 오류 수정 부호와 동일한 무게 분포를 가진 새로운 부호를 생성할 수 있는가?
• RQ5 기존의 구성 방법으로 설명되지 않는 다른 APN 지수 쌍이 존재하는가? 이러한 쌍은 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 와 동일한 무게 분포를 가진 부호를 생성하는가?

주요 결과

• 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 는 최소 거리가 정확히 7임을 증명하여 삼중 오류 수정 요구 조건을 충족함을 입증한다.
• 쌍대 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 는 모든 무게가 $2^{(m-1)/2}$ 의 배수임을 확인하여 홀만과 샹의 기준에서 핵심 조건을 충족함을 입증한다.
• 부호 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 의 무게 분포는 매크밀런 항등식과 $m = 5, 7, 9, 11$ 에 대한 계산적 검증을 통해 고전적 원시 BCH 부호 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 와 동일함을 확인하였다.
• $(d_1, d_2) = (3,13)$ 쌍은 이전의 구성 방식인 $\{2^r+1, 2^{3r}+1\}$ 또는 $\{2^{(m+1)/2}+1, (2^{(m+1)/2}+1)^2\}$ 으로 설명될 수 없으며, 표 3에 새로운 발견으로 표기된 $\bigstar$ 로 표시됨.
• 형태 $\mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13})$ 의 선형 조합의 최대 무게 $M(m;3,13)$ 이 $k = (m - \gcd(m,r))/2$ 로 나타나며, 이는 $M(m;3)$ 의 경계와 일치함을 입증하여 경계의 날카로움을 확인한다.
• 이 구성은 다른 APN 함수로 일반화 가능하다: 만약 $\mathbb{F}_{2^m}$ 에서 서로 다른 APN 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 있다면, 쌍대 부호 $\mathcal{C}^\perp = \{ \mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma f(x) + \delta g(x)) \}$ 를 가지는 부호는 유사한 조건 하에 새로운 무게 분포 동치 부호를 생성할 수 있다.