[논문 리뷰] A tropical isoperimetric inequality

Jules Depersin, Stéphane Gaubert외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 13.

Mathematics and Applications참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다각형에 대한 새로운 종류의 트로픽 부피 개념을 정의하여 고전적 등주부등식의 트로픽 버전을 제안한다. 트로픽 지름이 고정된 조건에서 트로픽 부피를 최대화하는 트로픽 단체는 기존에 알려진 폴리트롭(정점이 일정한 일반적 볼록다각형)으로 나타나며, 이러한 폴리트롭이 트로픽 지름이 고정된 조건에서 유일하게 부피를 최대화하는 것으로 밝혀진다. 주요 결과는 트로픽 기하학과 고전적 볼록기하학, 그리고 선형계획법의 복잡도 이론 간의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

We introduce tropical analogues of the notion of volume of polytopes, leading to a tropical version of the (discrete) classical isoperimetric inequality. The planar case is elementary, but a higher-dimensional generalization leads to an interesting class of ordinary convex polytopes, characterizing the equality case in the isoperimetric inequality. This study is motivated by open complexity questions concerning linear optimization and its tropical analogs.

연구 동기 및 목표

• 트로픽 다각형에 대한 새로운 부피 개념을 사용하여 고전적 등주부등식의 트로픽 버전을 개발한다.
• 고정된 트로픽 지름 조건에서 이 부피를 최대화하는 트로픽 다각형을 특성화한다.
• 트로픽 볼록성과 고전적 볼록기하학, 선형계획법의 복잡도 이론 간의 연결 고리를 설정한다.
• 트로픽 부피, 로그한계집합, 아이디포텐트 측도 간의 관계를 탐색한다.
• 고차원에서 등지름 트로픽 다각형의 조합적 및 기하학적 구조를 조사한다.

제안 방법

• 트로픽 거리의 정의: $\operatorname{tdist}(v,w) = \max_i(v_i - w_i) - \min_i(v_i - w_i)$.
• 트로픽 다각형의 생성자들을 행으로 가지는 행렬의 트로픽 행렬식을 기반으로 새로운 트로픽 부피 개념 $\operatorname{tvol}$ 을 도입한다.
• 디퀀타이제이션 방법을 사용하여, 로그 스케일링 하에서 정규화된 고전적 부피의 극한으로 두 번째 부피 $\operatorname{qtvol}^+$ 를 정의한다.
• 트로픽 부피 최적화 문제의 해로서 $\operatorname{qtvol}^+$ 가 강력 다항시간 내에 계산 가능하다는 것을 증명한다.
• 등주부등식에서 등호가 성립하는 조건을 특성화하여, 최대화자가 폴리트롭—일반적 볼록다각형이자 트로픽 고유공간인 다각형—임을 보인다.
• 트로픽 다각형의 고전적 부피에 대한 상한을 $\operatorname{qtvol}^+$ 를 사용하여 유도하며, $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 트로픽 지름 조건에서 어떤 트로픽 다각형이 새로운 트로픽 부피를 최대화하는가?
• RQ2 새로운 트로픽 부피 개념이 고전적 부피와 로그한계집합 간에 어떤 관계를 가지는가?
• RQ3 차원 $d \geq 5$ 에서 등지름 트로픽 다각형의 조합적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 트로픽 등주부등식은 직사각형 행렬이나 저차원 트로픽 부피로 확장 가능한가?
• RQ5 부피 상한 $\operatorname{vol} \operatorname{conv} A \leq \alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ 에서 최적의 상수 $\alpha$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 트로픽 지름 조건에서 새로운 트로픽 부피를 최대화하는 트로픽 다각형은 정확히 폴리트롭—일반적 볼록다각형이자 트로픽 고유공간인 다각형—이다.
• 차원 $d=3$ 와 $d=4$ 에서는 트로픽 부피를 최대화하는 유일한 일반적 조합형태의 폴리트롭이 존재한다.
• 디퀀타이제이션된 트로픽 부피 $\operatorname{qtvol}^+$ 는 최적 운반 문제의 해로서 강력 다항시간 내에 계산 가능하다.
• 다각형의 고전적 부피는 $\alpha(d+1)\exp(\operatorname{qtvol}^+ \operatorname{Log} A)$ 에 의해 상한으로 제한되며, 여기서 $\alpha$ 는 점 구성의 삼등분에서 최대 셀의 수이다.
• 디퀀타이제이션된 부피는 등호가 $\operatorname{tvol}$ 을 최대화하는 것보다 덜 엄격한 구조를 가진 행렬에서도 성립하므로, 탈퇴된 등주부등식이 된다.
• 트로픽 부피 $\operatorname{tvol}$ 은 일반적인 트로픽 다각형 공간 위의 아이디포텐트 측도이며, $\operatorname{tvol} \bar{A} > 0$ 이 되는 것은 $\bar{A}$ 의 트로픽 행렬식에서 유일한 최대화 순열이 존재하는 것과 동치이다.