[논문 리뷰] A Trustful Monad for Axiomatic Reasoning with Probability and Nondeterminism

Reynald Affeldt, Jacques Garrigue외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 22.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 기하학적으로 볼록한 모나드의 Coq 상에서의 첫 번째 형식화를 제시한다. 이는 확률적 선택과 비결정적 선택을 조합한 신뢰할 수 있는 모델로, 확률적 선택의 등급성도 포함한다. 이 모나드는 형식화된 볼록 공간, 준완비 준격자, 구체적 범주를 사용하여 유도된 수반 함자들을 통해 구성되며, 등식적 추론을 가능하게 하고 Gibbons와 Hinze의 공리계의 일致성을 검증한다. 이는 결함이 있는 오른쪽 분배법칙을 포함하지 않는다.

ABSTRACT

The algebraic properties of the combination of probabilistic choice and nondeterministic choice have long been a research topic in program semantics. This paper explains a formalization in the Coq proof assistant of a monad equipped with both choices: the geometrically convex monad. This formalization has an immediate application: it provides a model for a monad that implements a non-trivial interface which allows for proofs by equational reasoning using probabilistic and nondeterministic effects. We explain the technical choices we made to go from the literature to a complete Coq formalization, from which we identify reusable theories about mathematical structures such as convex spaces and concrete categories, and that we integrate in a framework for monadic equational reasoning.

연구 동기 및 목표

• 확률적 및 비결정적 선택을 조합한 형식적이고 일致한 모델을 제공하여 모나드 등식적 추론을 가능하게 한다.
• Gibbons와 Hinze의 원래 공리계에서 발생하는 일치성 문제를 오른쪽 분배법칙을 제거함으로써 해결한다.
• 등급성 확률적 선택과 무한 비결정적 선택을 지원하는 모나드를 형식화하여 대수적 일치성을 보장한다.
• Monae 프레임워크를 확장하여 확률적 및 비결정적 효과를 조합한 데에서 누락된 모델을 보완한다.
• 향후 프로그램 의미 이론의 형식화를 위해 재사용 가능한 형식수학 이론(볼록 공간, 구체적 범주, 준완비 준격자)을 개발한다.

제안 방법

• 확률적 선택과 볼록 조합을 모델링하기 위해 볼록 공간과 애핀 함수를 형식화한다.
• 비결정적 선택을 표현하기 위해 비어 있지 않은 볼록 멱집합 함자를 형식화한다.
• Beaulieu의 연산자를 사용하여 무한비결정적 선택을 모델링하기 위해 준완비 준격자 구조를 정의한다.
• 수반 함자들을 통한 모나드 구성의 기초로 구체적 범주를 구성한다.
• 볼록 공간과 준격자 사이의 수반을 이용하여 기하학적으로 볼록한 모나드를 조합을 통해 유도한다.
• Coq의 팩키지 클래스와 모듈러 설계를 활용하여 재사용성과 기존 형식화(Monae 등)와의 통합을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 선택의 등급성을 유지하면서 비결정적 선택과 조합된 모나드를 형식적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 Gibbons와 Hinze의 원래 공리계에서 발생하는 오른쪽 분배법칙의 문제로 인한 일치성 문제는 형식 모델에서 어떻게 피할 수 있는가?
• RQ3 Coq와 같은 증명 보조도구에서 이러한 모나드를 구성하기 위해 필요한 형식수학적 구조는 무엇인가?
• RQ4 재사용 가능하고 모듈러한 구성 요소를 사용하여 수반 함자들을 통해 기하학적으로 볼록한 모나드를 구축할 수 있는가?
• RQ5 이 형식화는 Monae와 같은 기존의 모나드 등식적 추론 프레임워크에 어떻게 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 기하학적으로 볼록한 모나드는 볼록 공간과 준완비 준격자 사이의 수반 함자들 간의 조합을 통해 Coq에서 형식화되었다.
• 형식화는 결함이 있는 오른쪽 분배법칙을 생략함으로써 Gibbons와 Hinze의 원래 공리계의 일치성 문제를 성공적으로 피했다.
• 이 모나드는 등급성 확률적 선택과 무한비결정적 선택을 모두 지원하며, 후자는 Beaulieu의 연산자를 통해 모델링된다.
• 형식화는 볼록 공간, 볼록 멱집합, 준완비 준격자, 구체적 범주에 대한 재사용 가능한 이론을 포함하며, 모두 모듈러 프레임워크에 통합되어 있다.
• 몬티 홀 문제를 기계적으로 기계화하는 데에 이 모나드가 성공적으로 사용되어, 모나드 등식적 추론에서의 유용성을 입증했다.
• 이 작업은 확률적 및 비결정적 인터페이스를 조합한 신뢰할 수 있는 모델을 추가함으로써 Monae 프레임워크를 완성했다.