[논문 리뷰] A Tutorial and Open Source Software for the Efficient Evaluation of Gravity and Magnetic Kernels

Jarom D. Hogue, Rosemary A. Renaut외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 15.

Geophysical and Geoelectrical Methods참고 문헌 16인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 블록-토플리츠 토플리츠-블록(BTTB) 민감도 행렬을 사용하여 2D 빠른 푸리에 변환(FFT)을 통해 중력 및 자석 후행 모델링을 효율적으로 계산하기 위한 오픈소스 MATLAB 프레임워크를 제시한다. BTTB 구조—중력의 경우 대칭, 자석장의 경우 비대칭—를 활용하여 전체 커널 행렬을 명시적으로 구성하지 않고도 빠른 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 하여 특히 변수 패딩을 가진 큰 3D 체적에서 높은 속도 향상과 메모리 사용 감소를 달성한다.

ABSTRACT

Fast computation of three-dimensional gravity and magnetic forward models is considered. Measurement data is assumed to be obtained on a uniform grid which is staggered with respect to the discretization of the parameter volume. Then, the resulting kernel sensitivity matrices exhibit block-Toeplitz Toeplitz-block (BTTB) structure. These matrices are symmetric for the gravity problem but non-symmetric for the magnetic problem. In each case, the structure facilitates fast forward computation using two-dimensional fast Fourier transforms. The construction of the kernel matrices and the application of the transform for fast forward multiplication, for each problem, is carefully described. But, for purposes of comparison with the transform approach, the generation of the unique entries that define a given kernel matrix is also explained. It is also demonstrated how the matrices, and hence transforms, are adjusted when padding around the volume domain is introduced. The transform algorithms for fast forward matrix multiplication with the sensitivity matrix and its transpose, without the direct construction of the relevant matrices, are presented. Numerical experiments demonstrate the significant reduction in computation time that is achieved using the transform implementation. Moreover, it becomes feasible, both in terms of reduced memory requirements and computational time, to implement the transform algorithms for large three-dimensional volumes. All presented algorithms, including with variable padding, are coded for optimal memory, storage and computation as an open source MATLAB code which can be adapted for any convolution kernel which generates a BTTB matrix. This work, therefore, provides a general tool for the efficient simulation of gravity and magnetic field data, as well as any formulation which admits a sensitivity matrix with the required structure.

연구 동기 및 목표

• BTTB-구조 민감도 행렬을 사용하여 3D 중력 및 자석장의 후행 모델링을 위한 효율적이고 오픈소스 구현을 개발하는 것.
• 기존의 FFT 기반 BTTB 방법을 비대칭 자석 커널과 x 및 y 방향에서의 임의의 패딩을 처리할 수 있도록 확장하는 것.
• 큰 커널 행렬을 명시적으로 구성하지 않고도 행렬-벡터 곱셈과 그 전치 연산을 계산하기 위한 최적화된 메모리 효율 알고리즘을 제공하는 것.
• 빠른 후행 및 전치 연산을 지능형 지구물리학 모델링 파이프라인에 통합하여 확장 가능하고 고성능 역문제 워크플로우를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• x 및 y 방향에서 균일한 격자에 기반한 중력 및 자석 커널 행렬의 BTTB 구조를 활용한다.
• 블록-순환-순환-블록(BCCB) 임bedding에 2D FFT를 적용하여 행렬-벡터 곱셈을 가속화한다.
• 중력(대칭)과 자석(비대칭) 커널에 대해 각각 대칭 및 비대칭 BTTB 알고리즘을 별도로 적용한다.
• 비대칭 경계 확장을 통해 x 및 y 방향에서 가변 패딩을 구현하여 FFT 효율성을 유지한다.
• 임베딩된 BCCB 행렬의 FFT를 사용하여 후행 및 전치 연산을 계산하는 명시적 공식을 유도한다.
• 메모리 사용량 검사 및 다른 컨volution 커널에 의한 BTTB 구조 생성에의 확장성까지 고려한 모듈식이고 오픈소스의 MATLAB 구현을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중력 및 자석 커널 행렬의 BTTB 구조는 명시적인 행렬 구성 없이 후행 모델링을 가속화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ2 대규모 3D 모델에 대해 BCCB-임베딩된 BTTB 행렬에 2D FFT를 사용할 경우 직접 계산에 비해 성능 향상은 어느 정도인가?
• RQ3 계산 효율성과 수치적 안정성을 유지하면서 BTTB-FFT 프레임워크에 도메인 패딩을 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ4 FFT 기반 방법을 사용할 경우 직접 방법에 비해 행렬-벡터 곱셈과 그 전치 연산을 계산할 때의 계산 및 메모리 절감 효과는 어떠한가?
• RQ5 이와 같은 프레임워크는 중력 및 자석장 이외의 컨볼루션 유형 커널으로까지 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• FFT 기반 BTTB 방법은 특히 대규모 3D 모델에서 직접 행렬 곱셈에 비해 계산 시간을 수개월 수준으로 감소시킨다.
• 큰 커널 행렬을 명시적으로 구성하지 않음으로써 상당한 메모리 절감 효과를 달성하여 대규모 모델링을 가능하게 한다.
• x 및 y 방향에서 비대칭 패딩이 포함되더라도 FFT 효율성이 손상되지 않으며, 도메인 이산화의 유연성을 제공한다.
• 비대칭 자석 커널에 대한 알고리즘은 대칭 중력 케이스에 비해 메모리 및 계산량이 다소 증가할 뿐만 아니라 성공적으로 구현되었다.
• 수치 실험 결과, 패딩이 있더라도 중력 및 자석 케이스 모두에서 후행 및 전치 연산의 상대 평균 오차가 1e-10 이하로 유지됨을 확인하였다.
• 오픈소스 MATLAB 코드는 생산용으로 사용 가능하며, 내장된 메모리 안전 검사 기능과 모듈식 설계 덕분에 다른 BTTB 생성 커널에 쉽게 적용 가능하다.