[논문 리뷰] A two-phase method for control constrained elliptic optimal control problem

Xiaoliang Song, Yu Bo|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 02.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한요소 이산화를 사용하여 제어제약이 있는 타원형 최적제어 문제를 해결하기 위한 이단계 알고리즘을 제안한다. 제1단계는 정확도가 떨어지는 가중치를 적용한 ADMM(iwADMM)를 사용하여 온난 시작(warm start)을 생성하고, 제2단계는 전방적-이중 활성집합 방법(PDAS)을 적용하여 초선형 수렴을 달성한다; 이 프레임워크는 전역 수렴성과 비에르고딕 반복 복잡도를 보장하며, 수치 결과는 정확성과 효율성을 확인한다.

ABSTRACT

We in this paper consider linear-quadratic elliptic control problems with pointwise box constraints on the control. Since solving the solutions of such PDE-constrained optimization problems are usually a major computation task, thus applying semismooth Newton methods used to be a priority in consideration of their locally superlinear convergence. However, solving the Newton equation is expensive, especially when the discretization is in a fine level. Motivated by the success of applying alternating direction method of multipliers (ADMM) for solving large scale convex minimization problem in finite dimension, it is reasonable to combine semismooth Newton methods with ADMM to solve optimal control problems. To numerically solve elliptic optimal control problems, the finite element (FE) method is used for discretizing the problem. Then, a two-phase method is proposed for the discretized problem. In Phase-I, based on a weighted-augmented Lagrangian function, an inexact weighted-ADMM (iwADMM) algorithm is developed to get a reasonably good initial point to be a warm-start of Phase-II. In Phase-II, a special semismooth Newton method named primal-dual active set (PDAS) is used to efficiently obtain accurate solutions. Furthermore, theoretical results on the global convergence as well as the iteration complexity results in non-ergodic sense of iwADMM are given under suitable conditions. The efficiency of our proposed algorithm is verified by two numerical experiments. The numerical results not only confirm the error estimates for FE but also show that our two-phase framework is efficient for obtaining accurate solutions.

연구 동기 및 목표

• 지점상자 제약 조건이 있는 대규모 제어제약이 있는 타원형 최적제어 문제를 해결하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결하기 위해.
• ADMM의 전역 수렴성과 반편미분 뉴턴 방법의 빠른 국소 수렴성을 결합하여 효율성을 향상시키기 위해.
• 제1단계에서의 양호한 초기 추정치를 활용하여 제2단계에서 수렴 속도를 가속화하는 이단계 전략을 개발하기 위해.
• 비에르고딕 측면에서 정확도가 떨어지는 가중치를 적용한 ADMM(iwADMM)의 이론적 수렴성과 반복 복잡도 결과를 확립하기 위해.
• 유한요소 이산화된 문제에 대한 수치 실험을 통해 방법의 정확성과 효율성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 타원형 최적제어 문제를 대규모 유한차원 최적화 문제로 변환하기 위해 유한요소법(FEM)이 사용된다.
• 제1단계에서, 정확도가 떨어지는 가중치를 적용한 보조라그랑주 함수를 도입하여 정확도가 떨어지는 가중치를 적용한 ADMM(iwADMM) 알고리즘을 설계하여 고품질의 초기점 확보를 목적으로 한다.
• iwADMM 알고리즘은 정확도와 계산 비용을 균형 잡아, 전역 수렴 보장을 갖는 효율적인 반복을 가능하게 한다.
• 제2단계에서, 이산화된 문제에 대해 전방적-이중 활성집합(PDAS) 방법을 적용하여 정확한 해에 대해 국소적으로 초선형 수렴을 달성한다.
• 이단계 프레임워크는 제1단계의 출력 결과를 제2단계의 온난 시작으로 사용하여 뉴턴 반복 횟수를 크게 감소시킨다.
• 이론적 분석을 통해 적절한 조건 하에서 iwADMM의 전역 수렴성과 비에르고딕 반복 복잡도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확도가 떨어지는 가중치를 적용한 ADMM(iwADMM)가 제어제약이 있는 타원형 최적제어 문제를 해결하기 위한 온난 시작으로 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ2 ADMM와 반편미분 뉴턴 방법을 조합하면 대규모 PDE-제약 최적화 문제를 해결하는 데 있어 효율성과 견고성이 향상되는가?
• RQ3 제안된 iwADMM 알고리즘의 전역 수렴성과 비에르고딕 반복 복잡도 특성은 무엇인가?
• RQ4 이단계 프레임워크는 정상적인 방법과 비교하여 정확성과 계산 비용 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 유한요소 이산화 오차가 제안된 프레임워크 내에서 이론적 예측과 얼마나 일치하는가?

주요 결과

• 제안된 이단계 방법은 제1단계에서 iwADMM의 전역 수렴성과 제2단계에서 PDAS 방법의 초선형 수렴성을 결합하여 높은 정확도를 달성한다.
• 수치 실험 결과는 유한요소 이산화에 대한 이론적 오차 추정치를 확인하여 기반 FEM의 수렴 차수를 검증한다.
• 제1단계에서 iwADMM를 사용함으로써 신뢰할 수 있고 계산적으로 효율적인 온난 시작을 확보하여 제2단계의 뉴턴 반복 횟수를 감소시킨다.
• 이론적 분석을 통해 적절한 가정 하에 iwADMM 알고리즘의 전역 수렴성과 비에르고딕 반복 복잡도를 확인한다.
• 기존 접근 방식에 비해 대규모 제어제약이 있는 타원형 최적제어 문제를 해결하는 데 있어 뛰어난 효율성을 보여준다.
• 수치 결과는 이단계 방법이 견고하고 확장 가능하며, 특히 뉴턴 해법이 일반적으로 비용이 많이 드는 미세한 이산화에서 뛰어난 성능을 보임을 보여준다.