[논문 리뷰] A two-player version of the assignment problem

Florian Galliot, Nacim Oijid외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 두 명의 플레이어가 에이전트를 지명하고 나중에 각자의 집합에서 독립적인 할당 문제를 해결하는 경쟁적(두 선수) 할당 문제를 도입한다; PSPACE-completeness를 증명하고 제한된 에이전트 효율성에서의 계산 가능성(tractability)을 분석한다.

ABSTRACT

We introduce the competitive assignment problem, a two-player version of the well-known assignment problem. Given a set of tasks and a set of agents with different efficiencies for different tasks, Alice and Bob take turns picking agents one by one. Once all agents have been picked, Alice and Bob compute the optimal values $s_A$ and $s_B$ for the assignment problem on their respective sets of agents, i.e. they assign their own agents to tasks (with at most one agent per task and at most one task per agent) so as to maximize the sum of the efficiencies. The score of the game is then defined as $s_A-s_B$. Alice aims at maximizing the score, while Bob aims at minimizing it. This problem can model drafts in sports and card games, or more generally situations where two entities fight for the same resources and then use them to compete against each other. We show that the problem is PSPACE-complete, even restricted to agents that have at most two nonzero efficiencies. On the other hand, in the case of agents having at most one nonzero efficiency, the problem lies in XP parameterized by the number of tasks, and the optimal score can be computed in linear time when there are only two tasks.

연구 동기 및 목표

• 플레이어가 번갈아 가며 에이전트를 선택해 이후 독립적인 할당 문제를 해결하는 두 플레이어 드래프트를 모델링한다.
• 최적 점수가 임계값을 넘는지 여부를 결정하는 계산적 복잡도를 특성화한다.
• 드래프트 게임에서의 수를 이끄는 구조적 특성과 전략 원칙을 조사한다.
• 문제를 알려진 게임 이론 프레임워크와 연결하고 해석 가능한 특별 사례를 식별한다.

제안 방법

• 에이전트가 t-차원 효율성 벡터로 표현되는 드래프트 게임을 형식적으로 정의한다.
• 점수를 드래프트 후에 계산된 두 독립적 최적 할당 값의 차이로 정의한다.
• Milnor의 우주와 Maker-Breaker 게임 프레임워크 내에서 게임을 분류하고 nonzugzwang 같은 성질을 도출한다.
• 에이전트당 최대 두 개의 비영(非零) 효율성에도 불구하고 일반 경우에 대해 PSPACE-completeness를 증명한다.
• 해석 가능한 경우를 식별한다: OTP/TT P 제한, 그리고 에이전트당 최대 하나의 비영 효율성일 때의 복잡성을 분석한다.
• 제약된 차원 하에서 최적 수를 연구하기 위해 우위 보조정리 및 축소 기법을 제시하여 제약된 차원에서의 최적 수를 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에이전트당 최대 두 개의 비영 효율성일 때도 드래프트 게임이 PSPACE-complete인가?
• RQ2 에이전트당 최대 하나의 비영 효율성일 때의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 지배성, 평균값, nonzugzwang 등의 전략 원칙이 드래프트 게임에서 최적의 수행을 좌우하는가?
• RQ4 작은 작업 수에 대해 식별 가능한 해석 가능한 특별 사례나 매개변수화된 결과가 있는가?
• RQ5 드래프트 게임이 게임 특성 측면에서 Maker-Breaker와 Milnor’s universe 프레임워크와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• DraftGame은 각 에이전트가 최대 두 개의 비영 효율성인 경우에도 PSPACE-complete이다.
• 에이전트당 최대 하나의 비영 효율성일 때 문제는 작업 수에 따라 매개변수화된 XP에 속하며, 두 작업의 경우 선형 시간 해답이 있다.
• 드래프트 게임은 Milnor’s universe에 속하고 nonzugzwang 및 dicotic 성질을 보인다.
• 여러 지배 및 축소 보조정리들이 최적 수와 최적 전략의 구조에 대한 지침을 제공한다.
• 두 작업의 경우, 한 에이전트가 적어도 하나의 작업에 최대한 영향을 미치는 지배적 수가 존재한다; 이는 세 작업으로 일반화되지 않는다.
• 시작 위치에서 여러 복사에 걸친 게임의 평균은 0이며, 균형 잡힌 기준선을 나타낸다.