[논문 리뷰] A unification of the ADO and colored Jones polynomials of a knot

Sonny Willetts|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $S^3$ 속의 링크에 대해 색칠된 조지 다항식과 ADO 다항식을 동시에 포함하는 두 변수 통합 불변량을 구축한다. $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}, A^{\pm 1}]$의 환을 완비하고, 베르마 모듈러스 위에서의 보편 양자 $`\mathfrak{sl}_2$ 불변량을 사용하여, 색칠된 조지 다항식의 가닥이 ADO 다항식의 가닥을 결정함을 증명하고, 둘 다 색칠된 조지 함수와 같은 $q$-홀로노믹 연산자에 의하여 소거됨을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we prove that the family of colored Jones polynomials of a knot in $S^3$ determines the family of ADO polynomials of this knot. More precisely, we construct a two variables knot invariant unifying both the ADO and the colored Jones polynomials. On one hand, the first variable $q$ can be evaluated at $2r$ roots of unity with $r \\in \\Bbb N^*$ and we obtain the ADO polynomial over the Alexander polynomial. On the other hand, the second variable $A$ evaluated at $A=q^n$ gives the colored Jones polynomials. From this, we exhibit a map sending, for any knot, the family of colored Jones polynomials to the family of ADO polynomials. As a direct application of this fact, we will prove that every ADO polynomial is q-holonomic and is annihilated by the same polynomials as of the colored Jones function. The construction of the unified invariant will use completions of rings and algebra. We will also show how to recover our invariant from Habiro's quantum $\\mathfrak{sl}_2$ completion studied in arXiv:math/0605313.

연구 동기 및 목표

• 색칠된 조지 다항식의 가닥에서 $S^3$ 속의 임의의 링크에 대해 ADO 다항식의 가닥으로의 직접적인 대응관계를 수립하는 것.
• 색칠된 조지 다항식과 ADO 다항식을 동시에 통합하는 두 변수 링크 불변량을 구축하는 것.
• ADO 다항식이 $q$-홀로노믹이며, 색칠된 조지 함수와 같은 연산자에 의하여 소거됨을 증명하는 것.
• 통합 불변량이 허비로의 양자 $`\mathfrak{sl}_2$ 완비화로부터 자연스럽게 유도됨을 보이는 것.
• 환 완비화와 원주 단위 근 및 $q$의 정수 거듭제곱에서의 평가 사상에 의한 통합 불변량의 잘 정의됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 보편 양자 $`\mathfrak{sl}_2$ 불변량을 취하고, 완비된 환 $\hat{R}^{\hat{I}}$ 위의 베르마 모듈러스에서 평가하여 통합 불변량 $F_{∞}(q,A,\mathcal{K})$를 구성하는 것.
• 원주 단위 근에서 잘라낸 $R$-행렬로 인해 발생하는 무한합을 다루기 위해 $\mathbb{Z}[q^{\pm 1}, A^{\pm 1}]$의 환 완비화를 사용하는 것.
• 평가 사상 정의: $q \mapsto \zeta_{2r}$는 $\frac{ADO_r(A,\mathcal{K})}{A_{\mathcal{K}}(A^{2r})}$를, $A \mapsto q^n$은 $J_n(q^2, \mathcal{K})$를 유도하는 것.
• 색칠된 조지 함수의 $q$-홀로노믹성을 활용하여, 동일한 소거 다항식 $\alpha_{\mathcal{K}}(Q,E)$가 통합 불변량과 ADO 다항식 양쪽에 작용함을 보이는 것.
• 허비로의 양자 $`\mathfrak{sl}_2$ 완비화로부터 통합 불변량을 재구성하여, 기존의 구성과의 일致를 확보하는 것.
• 상태 다이어그램을 사용하여 특정 링크(예: 삼중 루프, 8자형 링크, 오각형 링크, 세 번 트리브 링크)에 대해 통합 불변량을 명시적으로 계산하고, $C_{∞}(1,A,\mathcal{K}) = \frac{q^{k\alpha}}{A_{\mathcal{K}}(q^{2\alpha})}$임을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 색칠된 조지 다항식의 가닥이 $S^3$ 속의 링크에 대해 ADO 다항식의 가닥을 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 색칠된 조지 다항식과 ADO 다항식을 동시에 포함하는 단일 두 변수 불변량이 존재하는가?
• RQ3 ADO 다항식은 $q$-홀로노믹인가, 그리고 색칠된 조지 함수와 같은 소거 다항식을 만족하는가?
• RQ4 통합 불변량은 환 완비화를 통해 구성되고, 허비로의 양자 $`\mathfrak{sl}_2$ 완비화로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ5 원주 단위 근에서의 ADO 불변량의 상태 다이어그램 전개는 통합 불변량의 형식적 멱급수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 색칠된 조지 다항식의 가닥은 $S^3$ 속의 링크 $\mathcal{K}$에 대해 ADO 다항식의 전체 가닥을 잘 정의된 사상으로 결정한다.
• 통합 불변량 $F_{∞}(q,A,\mathcal{K})$는 $F_{∞}(\zeta_{2r}, A, \mathcal{K}) = \frac{ADO_r(A,\mathcal{K})}{A_{\mathcal{K}}(A^{2r})}$ 및 $F_{∞}(q, q^n, \mathcal{K}) = J_n(q^2, \mathcal{K})$를 만족한다.
• ADO 다항식 $ADO_r(A,\mathcal{K})$는 $\zeta_{2r}$-홀로노믹이며, 색칠된 조지 함수와 동일한 다항식 $\alpha_{\mathcal{K}}(Q,E)$에 의하여 소거된다.
• 통합 불변량 $F_{∞}(q,A,\mathcal{K})$는 $q$-홀로노믹이며, 색칠된 조지 함수와 동일한 연산자 $\alpha_{\mathcal{K}}(Q,E)$에 의하여 소거된다.
• 삼중 루프 링크 $3_1$에 대해 $C_{∞}(1,A,3_1) = \frac{q^{3\alpha}}{A_{3_1}(q^{2\alpha})}$이며, 8자형 링크 $4_1$에 대해 $C_{∞}(1,A,4_1) = \frac{1}{A_{4_1}(q^{2\alpha})}$이다.
• 오각형 링크 $5_1$에 대해 $C_{∞}(1,A,5_1) = \frac{q^{5\alpha}}{A_{5_1}(q^{2\alpha})}$이며, 세 번 트리브 링크 $5_2$에 대해 $C_{∞}(1,A,5_2) = \frac{q^{-5\alpha}}{A_{5_2}(q^{2\alpha})}$이다.