[논문 리뷰] A Unified Analysis of Nonconforming Virtual Element Methods for Convection Diffusion Reaction Problem

Dibyendu Adak, E. Natarajan|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소산이 작고 대류가 지배적인 확산-대류-반응 문제를 위한 안정화된 비형상 가상 요소 방법(VEM)을 제안한다. $L^2$-투영 연산자를 사용하여 안정성과 다항식 일致성을 확보하며, 근사해의 다항식 차수 $k \geq 2$ 이상이면서 더 높은 원천 정(regularity)이 필요하다. 이 방법은 기저 함수를 명시적으로 알 필요 없이 자유도(degree of freedom)만으로 계산이 가능하며, 소산이 0으로 수렴하는 극한에서 최적 수렴성을 확보한다.

ABSTRACT

We discuss nonconforming virtual element method for convection dominated (diffusive coefficient is very small compared to convective coefficient and reac- tion coefficient ) convection-diffusion-reaction equation using L^2 projection operator.In this paper we stabilize the stabilization terms using same technique which is used for stabilization of symmetric part in VEM, where T is an arbitrary element, and assume H^2(T) regularity on each element to prove polynomial consistency where v_h is approximate solution.We have shown that linear nonconforming VE is not convergent for convection dominated convection-diffusion reaction problem and higher regu larity of f ,source term is also needed for convergence analysis.The novelty of this paper is we introduce a new SDFEM type nonconforming virtual element method for convection-dominated convection diffusion reaction equation, and discuss the computability issue using degrees of freedom of element without explicit knowledge of basis functions of virtual element methods.The present framework is stable in the limit of vanishing diffusion.

연구 동기 및 목표

• 소산이 작은 확산-대류-반응 문제를 위한 안정적이고 비형상적인 가상 요소 방법을 개발한다.
• 표준 갈레르킨 방법에서 발생하는 물리적으로 비합리적인 진동을 스트림라인 확산 유형의 안정화를 통해 해결한다.
• $L^2$-투영과 이산 해에 대한 더 높은 정규성 가정을 통해 다항식 일치성과 안정성을 확보한다.
• 기저 함수를 명시적으로 알 필요 없이 자유도만을 사용하여 방법의 계산 가능성을 확립한다.
• 원천 항과 메쉬에 대해 최소한의 가정 하에 수렴성과 사전 오차 추정을 증명한다.

제안 방법

• 비대칭 이차형식이 대류 및 반응 항으로 인해 발생하는 데, 이를 안정화하기 위해 $L^2$-투영 연산자를 활용한다.
• 안정화 항은 비형상 VEM에서 대칭 부분에 사용된 기법과 동일한 방식으로 구성되며, 구체적으로 $\int_T (\vec{b} \cdot \nabla u)(\vec{b} \cdot \nabla v)$ 형태를 취한다.
• 이산 해가 $v_h|_T \in H^2(T)$ 라는 가정 하에 다항식 일치성이 증명되며, 수렴을 위해 $H^3(T)$ 수준의 더 높은 정규성이 필요하다.
• 메쉬에 의존하는 노름을 사용하여 이산 이차형식을 분석함으로써 강제성과 유계성을 확립한다.
• 계산 절차는 기저 함수를 명시적으로 알 필요 없이 자유도를 통해 모멘트와 투영을 계산하는 데 기반한다.
• 다항식까지 $k-2$ 차수까지의 $L^2$-투영을 계산하기 위해 타원형 투영 연산자를 사용하며, 더 높은 차수에 대해서는 근사 기법을 통한 확장이 이루어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소산이 작고 대류가 지배적인 확산-대류-반응 문제에 대해 $L^2$-투영을 사용한 비형상 가상 요소 방법이 안정화될 수 있는가?
• RQ2 비대칭 문제에 대해 $L^2$-투영을 사용할 경우 비형상 VEM에서 다항식 일치성이 달성 가능한가?
• RQ3 소산이 0으로 수렴하는 극한($\epsilon \to 0$)에서도 방법이 안정적이고 수렴성 보장이 가능한가?
• RQ4 이산 이차형식의 모든 항이 기저 함수를 명시적으로 알지 않고도 자유도만으로 계산 가능한가?
• RQ5 수렴을 위해 필요한 정규성 가정은 무엇이며, 선형 비형상 VEM은 이 맥락에서 실패하는가?

주요 결과

• 선형 비형상 가상 요소는 대류 지배 문제에서 수렴하지 않으며, 수렴을 위해 다항식 차수 $k \geq 2$ 가 필요하다.
• 원천 항 $f$ 가 각 요소 $T$ 에서 $H^s(T)$ 에 속하고 $s \geq 1$ 라는 가정 하에 최적 수렴률을 확보한다.
• $L^2$-투영 연산자는 소산이 작아지는 극한에서도 비대칭 이차형식에 대해 안정적이고 일치적인 분석을 가능하게 한다.
• 이산 이차형식의 모든 항이 자유도만으로 계산 가능하여 방법의 실용적 타당성이 확인된다.
• 메쉬에 의존하는 노름에서 방법은 안정적이고 강제적이며, 대류 지배 문제에 대한 강건성을 보장한다.
• 비형상성에 기인한 일치 오차는 패치 테스트를 통해 유계로 제한되며, 내부 경계에서의 비형상성도 고려된다.