[논문 리뷰] A unified approach to Fiedler-like pencils via strong block minimal bases pencils

Maribel Bueno Cachadina, Froilán M. Dopico외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 22.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 행렬 다항식 고유값 문제를 해결하는 데 사용되는 Fiedler 유사 펜슬들을 강한 블록 최소 기저 펜슬의 프레임워크 내에 통합한다. 확장된 블록 크로네커 펜슬을 도입하여, 비특수 일반화 Fiedler 펜슬을 제외한 모든 Fiedler 유사 펜슬이 행과 열의 순열에 의해 이들과 동치임을 증명함으로써 이론을 단순화하고 향후 후방 오차 및 조건수 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The standard way of solving the polynomial eigenvalue problem associated with a matrix polynomial is to embed the matrix polynomial into a matrix pencil, transforming the problem into an equivalent generalized eigenvalue problem. Such pencils are known as linearizations. Many of the families of linearizations for matrix polynomials available in the literature are extensions of the so-called family of Fiedler pencils. These families are known as generalized Fiedler pencils, Fiedler pencils with repetition and generalized Fiedler pencils with repetition, or Fiedler-like pencils for simplicity. The goal of this work is to unify the Fiedler-like pencils approach with the more recent one based on strong block minimal bases pencils introduced in \cite{canonical}. To this end, we introduce a family of pencils that we have named extended block Kronecker pencils, whose members are, under some generic nonsingularity conditions, strong block minimal bases pencils, and show that, with the exception of the non proper generalized Fiedler pencils, all Fiedler-like pencils belong to this family modulo permutations. As a consequence of this result, we obtain a much simpler theory for Fiedler-like pencils than the one available so far. Moreover, we expect this unification to allow for further developments in the theory of Fiedler-like pencils such as global or local backward error analyses and eigenvalue conditioning analyses of polynomial eigenvalue problems solved via Fiedler-like linearizations.

연구 동기 및 목표

• Fiedler, 일반화 Fiedler, 반복이 있는 Fiedler, 일반화 Fiedler와 반복이 있는 Fiedler 등 다양한 Fiedler 유사 펜슬 가족을 하나의 이론적 프레임워크 아래 통합하기.
• 최근에 등장한 강한 블록 최소 기저 펜슬, 특히 블록-크로네커 펜슬과 Fiedler 유사 펜슬 간의 격차를 메우기.
• Fiedler 유사 펜슬의 본질적 구조를 포괄하는 일반화된 펜슬 가족, 즉 확장된 블록 크로네커 펜슬을 도입하기.
• 일반적인 비특이성 조건 하에서 Fiedler 유사 펜슬이 순열을 제외한 강한 선형화이자 최소 기저 펜슬임을 입증하기.
• Fiedler 유사 선형화를 통해 해결되는 다항식 고유값 문제에 대한 향후 후방 오차 및 고유값 조건수 분석의 기초를 마련하기.

제안 방법

• 구조화된 블록 행렬과 기본 행렬 연산을 통해 정의된 블록-크로네커 펜슬의 일반화로, 확장된 블록 크로네커 펜슬 가족을 도입하기.
• 순열에 의한 동치성을 이용하여 Fiedler 유사 펜슬이 확장된 블록 크로네커 펜슬로 변환될 수 있음을 보이며, 이로써 그 구조적 및 수치적 성질을 유지함.
• 강한 블록 최소 기저 펜슬 이론을 적용하여, 일반적인 비특이성 조건 하에서 확장된 블록 크로네커 펜슬이 강한 선형화임을 증명하기.
• 기본 행렬을 포함하는 인수분해를 통해 Fiedler 유사 펜슬의 구조를 특성화하여 그 성질을 체계적으로 분석할 수 있도록 하기.
• 최소 기저의 블록 구조와 쌍대성을 활용하여, Fiedler 유사 펜슬이 강한 선형화이자 최소 지수를 유지하는 조건을 설정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 Fiedler 유사 펜슬이 강한 블록 최소 기저 프레임워크에 포함될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ2 Fiedler 유사 펜슬과 확장된 블록 크로네커 펜슬 가족 간의 관계는 무엇인가? 특히 순열에 의한 동치성 측면에서 어떻게 연결되는가?
• RQ3 일반적인 비특이성 조건 하에서 Fiedler 유사 펜슬은 원래 행렬 다항식의 최소 기저 및 최소 지수 구조를 유지하는가?
• RQ4 확장된 블록 크로네커 펜슬 가족은 블록-크로네커 펜슬 가족을 어떻게 일반화하면서도 바람직한 수치적 성질을 유지하는가?
• RQ5 이 통합은 다항식 고유값 문제의 후방 오차 및 조건수 분석에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비특수 일반화 Fiedler 펜슬을 제외한 모든 Fiedler 유사 펜슬은 행과 열의 순열에 의해 확장된 블록 크로네커 펜슬과 동치이다.
• 선도 및 끝단 계수에 대한 일반적인 비특이성 조건 하에서 Fiedler 유사 펜슬은 원래 행렬 다항식의 강한 선형화이다.
• 확장된 블록 크로네커 펜슬 가족은 블록-크로네커 펜슬 가족을 일반화하며, 비특수 일반화 Fiedler 펜슬를 제외한 모든 Fiedler 유사 펜슬을 포함한다.
• 일반적인 비특이성 조건 하에서 Fiedler 유사 펜슬은 순열을 제외한 최소 기저 펜슬이다.
• 이 통합은 Fiedler 유사 펜슬의 이론적 분석을 단순화하고 향후 후방 오차 및 조건수 연구를 위한 통합 프레임워크를 제공한다.