[논문 리뷰] A Unified Approach to Systemic Risk Measures via Acceptance Sets

Francesca Biagini, Jean‐Pierre Fouque외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 21.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다차원 수용 집합과 집합 함수를 사용한 통합 프레임워크를 도입하여 체계적 리스크 측정을 가능하게 하며, 집계 이전 또는 이후의 탄력적인 자본 배분을 가능하게 한다. 라그랑주 최적화를 통해 최적의 체계적 리스크 측정치와 시나리오에 따라 달라지는 자본 배분을 유도하며, 주요 결과로는 특정 조건 하에서의 볼록성과 준볼록성( quasi-convexity )을 보여준다.

ABSTRACT

The financial crisis has dramatically demonstrated that the traditional approach to apply univariate monetary risk measures to single institutions does not capture sufficiently the perilous systemic risk that is generated by the interconnectedness of the system entities and the corresponding contagion effects. This has brought awareness of the urgent need for novel approaches that capture systemic riskiness. The purpose of this paper is to specify a general methodological framework that is flexible enough to cover a wide range of possibilities to design systemic risk measures via multi-dimensional acceptance sets and aggregation functions, and to study corresponding examples. Existing systemic risk measures can usually be interpreted as the minimal capital needed to secure the system after aggregating individual risks. In contrast, our approach also includes systemic risk measures that can be interpreted as the minimal capital funds that secure the aggregated system by allocating capital to the single institutions before aggregating the individual risks. This allows for a possible ranking of the institutions in terms of systemic riskiness measured by the optimal allocations. Moreover, we also allow for the possibility of allocating the funds according to the future state of the system (random allocation). We provide conditions which ensure monotonicity, convexity, or quasi-convexity properties of our systemic risk measures.

연구 동기 및 목표

• 금융 기관 간 상호의존성과 전염 효과를 반영하지 못하는 단변량 리스크 측정치의 한계를 해결하기 위해.
• 수용 집합과 집합 함수를 통해 다양한 체계적 리스크 측정치를 수용할 수 있는 일반적인 방법론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 집계 이전 및 이후 모두에서 자본 배분을 가능하게 하여 기관 간 체계적 리스크 기여도를 순위 매길 수 있도록 하기 위해.
• 상황별로 달라지는 자본 배분을 통합하여 금융 시스템 내 상태 기반 리스크 노출을 반영하기 위해.
• 모노톤성, 볼록성, 준볼록성과 같은 바람직한 성질이 보장되는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 미래의 $N$개 기관의 수익성 및 손실($P\&L$)을 나타내는 랜덤 벡터 $\mathbf{X} = (X^1, \ldots, X^N)$를 통해 금융 시스템을 모델링한다.
• 다차원 수용 집합과 집합 함수를 사용하여 시스템 전반의 리스크를 평가하는 체계적 리스크 측정치를 정의한다.
• 라그랑주 승수를 사용한 최적화 문제를 설정하여, 집계된 포지션의 리스크 수용 기준을 충족시키면서도 요구 자본 $c$를 최소화한다.
• 라그랑주 함수의 일阶 조건을 이용해 개별 기관에 대한 최적의 자본 배분 $y^k_j$와 총 자본 $c$를 유도한다.
• 주어진 리스크 기준 $\gamma$ 하에서 라그랑주 함수 $\phi(c, y^k_j, \lambda)$를 사용하여 최적의 자본과 자본 배분 전략을 구한다.
• 편도함수로부터 유도된 방정식 시스템을 풀어 체계적 리스크 측정치 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ 와 최적의 자본 배분을 닫힌 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기관 간 의존성과 전염 효과를 반영할 수 있는 체계적 리스크 측정 방법은 무엇인가?
• RQ2 집계 이전 자본 배분의 체계적 리스크 평가에서의 역할은 무엇이며, 집계 이후 측정치와는 어떻게 다를까?
• RQ3 수용 집합을 통한 체계적 리스크 측정치가 모노톤성, 볼록성 또는 준볼록성을 가지는 조건는 무엇인가?
• RQ4 상황별 자본 배분은 체계적 리스크 측정의 정확성과 민감도를 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 지수_utility 기반 수용 기준 하에서 최적의 자본 요구 수준과 자본 배분 전략의 해석적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 체계적 리스크 측정치 $\rho(\mathbf{X}) = c^*$ 는 $c^* = -\beta_N \log\left[\frac{\gamma}{\alpha_1 \beta_N d_N}\right]$ 로 닫힌 형태로 유도되며, 여기서 $\beta_N = \sum_{k=1}^N \frac{1}{\alpha_k}$ 이고 $d_N$ 은 집계 포지션의 시나리오 가중 지수 함수이다.
• 시나리오 $j$ 에서 기관 $k$ 에 할당된 최적의 자본 $y^k_j$ 는 $\alpha_k$, $X^k(\omega_j)$, 그리고 리스크 파rameter에 대한 로그 항을 포함하는 공식으로 명시적으로 제시된다.
• 최적의 자본 배분은 수용 집합 기준 하에서 집계된 시스템의 리스크를 보장하며, 리스크와 시나리오 의존성에 따라 자본이 분배되는 방식을 반영한다.
• 라그랑주 접근법은 리스크 제약 조건 $\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^N \exp(-\alpha_i(X^i + Y^i))\right] = \gamma$ 를 충족시키는 해를 보장하는 일관된 방정식 시스템을 제공한다.
• 적절한 리스크 파rameter 및 수용 집합 구조 조건 하에서 체계적 리스크 측정치의 볼록성이 보장된다.
• 이 프레임워크는 최적의 자본 배분 전략을 통해 기관 간 체계적 리스크 기여도를 순위 매길 수 있으며, 이는 타겟팅된 규제 개입을 가능하게 한다.