[논문 리뷰] A unified Framework for Robust Modelling of Financial Markets in discrete time

Jan Obłój, Johannes Wiesel|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이산 시간에서 경로 기반 및 준확실성 접근 방식 간의 등가성을 증명하는 통합 프레임워크를 수립한다. 미묘한 기술적 조건 하에서 기본 자산 가격 정리와 슈퍼헤징 정리가 상호 번역 가능하다는 것을 보여주며, 모델 독립적이고 강건한 금융 이론 분야에서 오랫동안 존재해온 두 주요 흐름 간의 차이를 해결한다.

ABSTRACT

We unify and establish equivalence between the pathwise and the quasi-sure approaches to robust modelling of financial markets in discrete time. In particular, we prove a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Superhedging Theorem, which encompass the formulations of [Bouchard, B., & Nutz, M. (2015). Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. The Annals of Applied Probability, 25(2), 823-859] and [Burzoni, M., Frittelli, M., Hou, Z., Maggis, M., & Obloj, J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research]. In bringing the two streams of literature together, we also examine and relate their many different notions of arbitrage. We also clarify the relation between robust and classical $\mathbb{P}$-specific results. Furthermore, we prove when a superhedging property w.r.t. the set of martingale measures supported on a set of paths $Ω$ may be extended to a pathwise superhedging on $Ω$ without changing the superhedging price.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간에서 경로 기반 및 준확실성 접근 방식 간의 공식적 등가성을 확립함으로써 두 주요 강건 금융 모델링 접근 방식을 통합한다.
• 경로 기반 및 준확실성 프레임워크 간 다양한 무위험 이론의 개념 간 관계를 명확히 한다.
• 강건(모델 불확실성) 결과와 고전적(모델 특정) 결과 사이의 격차를 메우기 위해, 고전적 마르팅게일 측도가 강건 슈퍼헤징 가격과 어떻게 관련되는지를 보여준다.
• 경로 집합 Ω에서 마르팅게일 측도에 대한 슈퍼헤징 가격이 동일한 집합에서 경로 기반 슈퍼헤징 가격으로 값이 그대로 유지된 채로 확장될 수 있는 조건을 보여준다.

제안 방법

• 모든 준확실성 결과가 집합 𝔓의 사전 확률에 대해 유도될 수 있음을 보여주는 메타-구조를 도입한다. 이는 선택된 시나리오 집합 Ω^𝔓에서의 대응되는 경로 기반 결과로부터 유도된다.
• 경로 기반 시나리오 집합 Ω에서 준확실성 측도 집합 𝔓^Ω로의 쌍대 사상 구축을 통해, 경로 기반 결과가 준확실성 결과를 암시함을 보장한다.
• 분석적 집합의 확률 측도에서 최적의 마르팅게일 측도를 보편적으로 가측적으로 선택할 수 있도록 Jankov-von Neumann 선택 정리를 적용한다.
• 상위 반분석 함수 이론과 오른쪽 도함수를 활용하여, 경로 기반 설정에서 보편적으로 가측적인 슈퍼헤징 전략을 구성한다.
• 예측 집합과 조건부 슈퍼헤징 가격의 개념을 활용하여 국소 마르팅게일 측도를 전역 슈퍼헤징 전략과 연결한다.
• 콤���트 집합 K_n에서의 ε-최적성과 수렴을 바탕으로 한 모순 증명을 통해 슈퍼헤징 가격의 등가성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준확실성 프레임워크에서의 기본 자산 가격 정리가 미묘한 기술적 조건 하에서 경로 기반 공식화로부터 유도될 수 있는가?
• RQ2 경로 집합 Ω에서 마르팅게일 측도에 대한 슈퍼헤징 가격이 동일한 집합에서 경로 기반 슈퍼헤징 가격과 동일한가?
• RQ3 다른 무위험 이론의 개념(예: 준확실성 대비 경로 기반의 무위험)이 두 프레임워크 간에 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 고전적 P-특정 결과가 얼마나 강건한 준확실성 또는 경로 기반 프레임워크에 통합될 수 있는가?
• RQ5 국소 조건부 기대를 사용하여 경로 기반 설정에서 보편적으로 가측적인 슈퍼헤징 전략을 구성하는 표준적인 방법이 존재하는가?

주요 결과

• 미묘한 기술적 가정 하에서 기본 자산 가격 정리는 경로 기반 및 준확실성 프레임워크 양쪽 모두에서 등가로 성립한다.
• 슈퍼헤징 정리는 두 프레임워크 간에 등가이다: 경로 집합 Ω에서 마르팅게일 측도에 대한 슈퍼헤징 가격은 Ω에서의 경로 기반 슈퍼헤징 가격과 같다.
• Bouchard와 Nutz(2015)의 핵심 기술적 조건인 제품 구조 가정(APS)은 경로 기반 접근 방식에서 시나리오 집합의 해석성에서 자연스럽게 유도된다.
• 보편적으로 가측적인 슈퍼헤징 전략이 경로 기반 설정에서 존재하며, 이는 변형된 주식 포지션에 대한 슈퍼헤징 가격의 오른쪽 도함수의 점별 극한으로 구성된다.
• Jankov-von Neumann 선택 정리를 활용하여 최적의 마르팅게일 측도 집합을 보편적으로 가측적으로 선택할 수 있다.
• 모든 비양수 가측적 계약 g ∈ ℰ₀에 대해, ℰ_Q[g] = 0를 만족하는 마르팅게일 측도 ℚ가 존재한다. 이는 NA(𝔓) 조건이 관련 측도 클래스 하에서 비양수 계약에 대해 비용이 0임을 암시한다.