[논문 리뷰] A unified integral equation scheme for doubly-periodic Laplace and Stokes boundary value problems in two dimensions

Alex H. Barnett, Gary R. Marple외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 24.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 55인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주기적 그린 함수를 명시적으로 계산하지 않고 주기성을 만족시키기 위해 작은 최소제곱 해법을 사용함으로써, 2차원에서 이중 주기적 라플라스 및 스토크스 경계값 문제를 스펙트럼 정확도로 통합된 적분방정식 기법으로 해결하는 방법을 제시한다. 이 방법은 직접 합산된 근접 필드 이미지와 소수의 보조 원천 소스를 조합하여 원거리 기여를 표현함으로써, 잘 조절된, 빠른 반복 해법을 가능하게 하며, 12자리 정확도를 달성하고 수천 개의 포함체에까지 확장 가능하다.

ABSTRACT

We present a spectrally-accurate scheme to turn a boundary integral formulation for an elliptic PDE on a single unit cell geometry into one for the fully periodic problem. Applications include computing the effective permeability of composite media (homogenization), and microfluidic chip design. Our basic idea is to exploit a small least squares solve to apply periodicity without ever handling periodic Green's functions. We exhibit fast solvers for the two-dimensional (2D) doubly-periodic Neumann Laplace problem (flow around insulators), and Stokes non-slip fluid flow problem, that for inclusions with smooth boundaries achieve 12-digit accuracy, and can handle thousands of inclusions per unit cell. We split the infinite sum over the lattice of images into a directly-summed "near" part plus a small number of auxiliary sources which represent the (smooth) remaining "far" contribution. Applying physical boundary conditions on the unit cell walls gives an expanded linear system, which, after a rank-1 or rank-3 correction and a Schur complement, leaves a well-conditioned square system which can be solved iteratively using fast multipole acceleration plus a low-rank term. We are rather explicit about the consistency and nullspaces of both the continuous and discretized problems. The scheme is simple (no lattice sums, Ewald methods, nor particle meshes are required), allows adaptivity, and is essentially dimension- and PDE-independent, so would generalize without fuss to 3D and to other non-oscillatory elliptic problems such as elastostatics. We incorporate recently developed spectral quadratures that accurately handle close-to-touching geometries. We include many numerical examples, and provide a software implementation.

연구 동기 및 목표

• 2차원에서 라플라스 및 스토크스 방정식에 의해 지배되는 이중 주기적 경계값 문제를 해결하기 위한 강력하고 고차원 수치 기법을 개발한다.
• 격자 합, 에이우드 방법, 입자 메esh를 피하기 위해 주기성을 만족시키기 위해 작은 최소제곱 해법을 사용한다.
• 단위 세포당 수천 개의 포함체와 밀접하게 접촉하는 기하학적 형태를 가진 복합 매질 및 마이크로유체역학 시스템의 고정밀 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 이 방법을 다른 비진동 타입의 타원형 편미분방정식으로 일반화하고, 최소한의 수정으로 3차원으로 확장한다.
• 빠른 다중극 방법과 스펙트럼 사다리꼴 적분법과 호환되는 유연하고 적응형이며 차원에 독립적인 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 주기적 그린 함수를 피하고, 포함체 위의 알려지지 않은 경계 밀도와 자유공간 그린 함수를 사용하여 해를 표현한다.
• 무한한 이미지 격자를 직접 합산하는 '근접' 부분과 원거리 기여를 모델링하는 M개의 보조 원천 소스로 나눈다.
• 단위 세포의 벽에 물리적 경계 조건을 적용하여 낮은 랭크 보정이 가해진 확장된 선형 시스템을 구성한다.
• 슈어 여부와 낮은 랭크 페르터베이션 기법을 사용하여 보조 미지수를 제거하고 잘 조절된 정사각형 시스템을 도출한다.
• 빠른 다중극 가속 기법과 스펙트럼 사다리꼴 적분법을 활용하여, 밀착된 포함체가 있는 경우에도 O(N)의 계산 비용과 고정밀도를 달성한다.
• 공백 해석 문제를 제거하기 위해 빈 BVP 시스템에 랭크-1 또는 랭크-3 보정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 적분방정식에서 주기적 경계 조건을 주기적 그린 함수를 명시적으로 계산하지 않고 어떻게 만족시킬 수 있는가?
• RQ2 주기적 문제에서 무한한 이미지 격자의 원거리 기여를 최적으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 통합된 기법이 이중 주기적 2차원 기하학에서 라플라스 및 스토크스 문제에 모두 스펙트럼 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 물리적 BVP에서의 공백 해석 문제로 인해 악조건이 되는 선형 시스템을 어떻게 잘 조절되고 빠른 반복 해법에 적합하게 만들 수 있는가?
• RQ5 고도로 복잡한 기하학적 특성을 지닌 수천 개의 포함체를 포함하는 경우, 이 방법의 확장 가능성과 정확도의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 이 방법은 밀착된 포함체가 있는 부드러운 기하학에서 라플라스 및 스토크스 문제에 대해 12자리 정확도를 달성한다.
• 이 기법은 단위 세포당 수천 개의 포함체를 가진 무작위 복합체에서 수백만 개의 미지수를 성공적으로 처리할 수 있다.
• 보조 원천 소스와 작은 최소제곱 해법을 사용함으로써 격자 합, 에이우드 방법, 입자 메쉬의 필요성을 피할 수 있다.
• 랭크-1 또는 랭크-3 보정을 거친 후 선형 시스템은 잘 조절되어 있으며, FMM 가속 기법과 함께 사용 가능한 빠른 반복 해법을 제공한다.
• 이 방법은 3차원으로 자연스럽게 일반화되며, 탄성 정역학과 같은 다른 비진동 타입의 타원형 편미분방정식에도 최소한의 수정으로 적용 가능하다.
• 수치 실험 결과는 높은 체적 분율과 높은 길이비를 가진 단위 세포와 같은 도전적인 영역에서도 강력한 수렴성과 고정밀도를 확인한다.